对数公式及推导

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什么是对数函数

对数函数是指数函数的反函数，指数函数$Y=a^X$对应的对数函数形势如下：

一、${log_a}{MN}=log_aM+log_aN$

[证明]

$a^{log_aMN}=MN$

$a^{log_aMN}=a^{log_aM}\times a^{log_aN}$

$a^{log_aMN}=a^{log_aM+log_aN}$

证得 ${log_a}{MN}=log_aM+log_aN$

二、${log_a}{\frac{M}{N}}=log_aM-log_aN$

这个证明过程同上，自行尝试。

三、$log_aM^n=nlog_aM$

[证明]

$a^{log_aM^n}=M^n$

$a^{log_aM^n}=(a^{log_aM})^n$

$a^{log_aM^n}=a^{(log_aM)\times n}$

证得 $log_aM^n=nlog_aM$

四、$log_{a^n}M=\frac{1}{n}log_aM$

[证明]

$({a^n})^{log_{a^n}M}=M$

$a^{n\times (log_{a^n}M)}=a^{log_aM}$

$n\times log_{a^n}M=log_aM$

证得 $log_{a^n}M=\frac{1}{n}log_aM$

五、换底公式 $log_ba=\frac{log_ca}{log_cb}$

[证明]

设$a=c^m,b=c^n$

$log_ba=log_{c^n}c^m$

根据公式三和公式四，可得到
$log_ba=\frac{m}{n}$

$\because a=c^m,b=c^n$

$\therefore m=log_ca, n=log_cb$

$\therefore log_ba=\frac{log_ca}{log_cb}$

六、倒数公式 $\frac{1}{log_ab}=log_ba$

[证明]

根据公式五，$log_ab=\frac{log_cb}{logc_a}$

$\therefore \frac{1}{log_ab}=\frac{log_ca}{logc_b}$

根据公式五，$\frac{log_ca}{logc_b}=log_ab$

$\therefore \frac{1}{log_ab}=log_ba$

常用的大概就是这六个公式吧，有补充请留言。

如有不当之处欢迎指出！