圆柱坐标轴对称热弹性体基本方程

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1.基本方程式

圆柱坐标以$r、\theta 、z$确定空间一点位置，其与直角坐标系转化关系为：
$$\{\begin{array}{l}x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \\ z=z\\ r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta =arctan\frac{y}{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(1–1)}$$

当忽略外力影响，即合外力为零时，有：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\sigma }_r}{\partial r}+\frac{\partial {\tau }_{zr}}{\partial z}+\frac{{\sigma }_r-{\sigma }_{\theta }}{r}=0\\ \frac{\partial {\sigma }_z}{\partial z}+\frac{\partial {\tau }_{rz}}{\partial r}+\frac{{\tau }_{rz}}{r}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1–2)}$$

应变与位移的关系如下：

$$\epsilon =\left\{\begin{array}{c}{\epsilon }_r\\ {\epsilon }_{\theta }\\ {\epsilon }_z\\ {\gamma }_{zr}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial r}\\ \frac{u}{r}\\ \frac{\partial w}{\partial z}\\ \frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial z}\end{array}\right\}\text{\hspace{1em}(1–3)}$$

当引入热应力时，这里假设温度变化为 t ，并且 t 只是 r 的函数，即：$t=t(r)$，与 z 轴无关。对于各向同性体，有：${\epsilon }_{r0}={\epsilon }_{\theta 0}={\epsilon }_{z0}=\alpha t,{\gamma }_{zr0}=0$。从而可得出应变公式为：

$$\{\begin{array}{l}{\epsilon }_r=\frac{1}{E}[{\sigma }_r-\mu ({\sigma }_{\theta }+{\sigma }_z)]+\alpha t\\ {\epsilon }_{\theta }=\frac{1}{E}[{\sigma }_{\theta }-\mu ({\sigma }_r+{\sigma }_z)]+\alpha t\\ {\epsilon }_z=\frac{1}{E}[{\sigma }_z-\mu ({\sigma }_r+{\sigma }_{\theta })]+\alpha t\\ {\gamma }_{zr}=\frac{{\tau }_{zr}}{G}\end{array}\text{\hspace{1em}(1–4)}$$

将应力表示为应变与温差的函数：

$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_r=\frac{E}{(1+\mu )(1-2\mu )}\left[(1-\mu ){\epsilon }_r+\mu ({\epsilon }_{\theta }+{\epsilon }_z)\right]-\frac{E\alpha t}{1-2\mu }\\ {\sigma }_{\theta }=\frac{E}{(1+\mu )(1-2\mu )}\left[(1-\mu ){\epsilon }_{\theta }+\mu ({\epsilon }_z+{\epsilon }_r)\right]-\frac{E\alpha t}{1-2\mu }\\ {\sigma }_z=\frac{E}{(1+\mu )(1-2\mu )}\left[(1-\mu ){\epsilon }_z+\mu ({\epsilon }_r+{\epsilon }_{\theta })\right]-\frac{E\alpha t}{1-2\mu }\\ {\tau }_{zr}=G{\gamma }_{zr}=\frac{E}{2(1+\mu )}{\gamma }_{zr}\end{array}\text{\hspace{1em}(1–5)}$$

可根据式（1-3）将式 (1-5) 整理成位移形式：
$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_r=2G\left[\frac{1-\mu }{1-2\mu }\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\mu }{1-2\mu }(\frac{u}{r}+\frac{\partial w}{\partial z})-\beta t\right]\\ {\sigma }_{\theta }=2G\left[\frac{1-\mu }{1-2\mu }\frac{u}{r}+\frac{\mu }{1-2\mu }(\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial r})-\beta t\right]\\ {\sigma }_z=2G\left[\frac{1-\mu }{1-2\mu }\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\mu }{1-2\mu }(\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{u}{r})-\beta t\right]\\ {\tau }_{zr}=G(\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial z})\end{array}\text{\hspace{1em}(1–6)}$$

其中，$\beta$ 为热应力系数，$\beta =\frac{\alpha E}{1-2\mu }$。

2.空心圆筒热应力

令：

• 空心圆筒内径为 $r_i$，外径为 $r_e$；
• 圆通两端为自由端，无外力作用；
• 温度变化场对称于中心轴。

假设:温度变化 t 仅是 r 的函数，与轴向坐标 z 无关，则;剪应力${\tau }_{zr}=0$，则式（1-2）可简化为：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\sigma }_r}{\partial r}+\frac{{\sigma }_r-{\sigma }_{\theta }}{r}=0\\ \frac{\partial {\sigma }_z}{\partial z}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2–1)}$$

根据式（1-6)，式(2-1) 可整理为：

$$\{\begin{array}{l}2G\frac{1-\mu }{1-2\mu }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+2G\frac{\mu }{1-2\mu }(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{u}{r^2})+2G(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{u}{r^2})-\beta \frac{\partial t}{\partial r}=0\\ \frac{1-\mu }{1-2\mu }\frac{{\partial }^{2}w}{\partial z^2}+\frac{\mu }{1-2\mu }\frac{\partial }{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{u}{r})-\beta \frac{\partial t}{\partial z}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2–2)}$$

考虑到轴对称特点，位移 u、温度 t 仅是 r 的函数，位移 w 仅是 z 的函数，则式(2-2)可整理为：

$$\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}-\frac{u}{r^2}=\frac{1+\mu }{1-\mu }\alpha \frac{dt}{dr}\\ \frac{d^{2}w}{d{z}^2}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2–3)}$$

由于

$$\frac{d{\epsilon }_z}{dw}=\frac{d^{2}w}{d{z}^2}=0\text{\hspace{1em}(2–4)}$$

固轴向应变分量

$${\epsilon }_z\approx \frac{dw}{dz}=k(任一常数)\text{\hspace{1em}(2–5)}$$

同时，式(2-3)第一项可改写为:

$$\frac{d}{dr}[\frac{1}{r}\frac{d(ru)}{dr}]=\frac{1+\mu }{1-\mu }\alpha \frac{dt}{dr}\text{\hspace{1em}(2–6)}$$

对上式积分两次，有：

$$u=\frac{1+\mu }{1-\mu }\frac{\alpha }{r}{\int }_{r_i}^{r_e}trdr+c_{1}r+\frac{c_2}{r}\text{\hspace{1em}(2–7)}$$

式（2-7）的微分形式为：

$$\frac{du}{dr}=\frac{1+\mu }{1-\mu }\alpha t+c_1-\frac{c_2}{r^2}\text{\hspace{1em}(2–8)}$$

将式(2-7)、（2-8）代入式（1-6）中，再根据应力边界条件即可求得参数$c_1、c_2$，进而求得应力微分方程。

相应地，对于：

• 圆柱热应力，只需令 $r_i=0$ 即可；
• 圆盘热应力，轴向尺寸较小，忽略其应力应变，${\sigma }_z=0$;