概率基础——二项分布

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概率基础——二项分布

介绍

在统计学中，二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在一系列独立同分布的伯努利试验中成功的次数。这里我们以抛硬币为例，将一个硬币抛掷$n$次，每次抛掷结果为正面向上的概率为$p$，每次抛掷彼此之间都是相互独立的，随机变量$X$对应的是$n$次抛掷中正面向上的总次数。这种情况下，随机变量$X$服从二项分布，参数为$n$和$p$。

理论及公式

二项分布的概率质量函数（PMF）为：

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

其中，$n$ 是试验次数，$p$是每次试验成功的概率，$k$是成功的次数。

示例与绘图

我们通过三组参数来绘制二项式分布的概率质量函数图：

1.$(n,p)=(10,0.24)$
2. $(n,p)=(10,0.5)$
3. $(n,p)=(10,0.85)$

接下来，我们使用Python来实现绘制这些概率质量函数图。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import binom # 参数设置 params = [(10, 0.24), (10, 0.5), (10, 0.85)] colors = ['r', 'g', 'b'] labels = ['(10, 0.24)', '(10, 0.5)', '(10, 0.85)'] # 绘制概率质量函数图 plt.figure(figsize=(10, 6)) for i, (n, p) in enumerate(params): x = np.arange(0, n+1) pmf = binom.pmf(x, n, p) plt.plot(x, pmf, 'o-', color=colors[i], label=labels[i]) plt.title('Binomial Distribution PMF') plt.xlabel('Number of Successes') plt.ylabel('Probability') plt.legend() plt.grid(True) plt.show() 

运行以上代码，将会得到一个包含三个二项式分布概率质量函数图的图表。从图中可以看出，当成功概率 (p) 不同时，二项式分布的形态也会发生变化。当 (p) 接近 0.5 时，分布呈对称形态，而当 (p) 偏离 0.5 时，分布则呈现出偏斜的形态。

上述模拟采样实验可以得到每种试验结果所对应的次数，然后通过归一化，可以计算出随机变量每一种取值所对应的频数，并将其作为概率的近似进行绘图观测。
下面展示一些 内联代码片。

from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt fig,ax = plt.subplots(3, 1) params = [(10, 0.24), (10, 0.5), (10, 0.85)] x = range(0, 11) for i in range(len(params)): binom_rv = binom(params[i][0], params[i][1]) rvs = binom_rv.rvs(size=10000) ax[i].hist(rvs, bins =10, density=True, alpha=0.75, edgecolor='black') ax[i].set_title('n = %i, p = %.2f' % (params[i][0], params[i][1])) ax[i].set_xlim(0, 10) ax[i].set_ylim(0, 0.6) ax[i].grid(ls="--") print(f'rvs { 
     i}:%{ 
     rvs}') plt.show() 

程序打印的结果是3个数组，就是不同参数下分别做10万次采样试验的结果数组。
服从二项分布的随机变量的期望和方差公式如下：
$$期望：E[X]=np$$
$$方差：V[X]=np(1-p)$$

import numpy as np from scipy.stats import binom binom_rv = binom(10, 0.24) mean, var, skew, kurt = binom_rv.stats(moments='mvsk') binom_rv = binom_rv.rvs(size=) E_sim = np.mean(binom_rv) S_sim = np.std(binom_rv, ddof=1) V_sim = S_sim * S_sim print('\nBinomial distribution simulation results') print(' n = %i, p = %.2f' % (10, 0.24)) print(f'mean={ 
     mean},var={ 
     var}') print(f'E_sim={ 
     E_sim},V_sim={ 
     V_sim}') print(f'E=np={ 
     10 * 0.24}, V=np(1-p)={ 
     10 * 0.24 * 0.76}') 

总结

本文介绍了二项分布及Python实现，利用了函数包的各个方法计算出各个理论统计值，利用采样样本数据计算出来的值和理论值基本算都是相等的。