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Part1平凡的现象
命题
在平面上画一个圈（简单闭曲线
），于是除了圈本身上的点之外，平面上的点有圈内与圈外之分——“一分为二”。
事实上，上面这个命题就是著名的Jordan闭曲线定理，然而出乎意料的是，它的证明却一点也不初等，甚至需要更为艰深的数学知识。它的证明不是我们今天的主题。
其实，把上面问题中“平面”的条件改为“球面”，命题依然成立。所以我们不禁会问，任何简单闭曲线都可以将曲面“一分为二”吗？
图1：球面上的圆圈将球面分成内外两个不连通的区域。
Part2圆环面的特点
一个简单闭曲线一定将曲面“一分为二”，这取决于曲面本身的特性。比如说在游泳圈（圆环面）上，这个判断是完全错误的——
上，“一分为二”也不是完全没有可能。这取决于你使用的是哪类简单闭曲线，没错，圆环面
上的闭曲线并不都一样。
比如上图中的三个圆圈，圈3可以将整个环面一分为二，而经线圈（圈1）和纬线圈（圈2）通过图2已经说明不可能。
（如图4），它们的效果和经纬线圈一样，也没有将圆环面一分为二（请读者自行验证）。
Part3新的问题
这时候自然会产生一个疑问，我们最多可以在圆环面上添加几个圈呢？并且保证其不会被分割成两个区域？对于高亏格（genus）的曲面（图5）又是如何呢？
亏格的曲面，那就应该有
个圈。然而就这么简单的事实，使用初等方法却难以严格证明。接下来，我们需要介绍一些
代数拓扑的基本概念，来介绍证明大概。
Part4证明大概
同调群的概念，我们用记号
表示曲面
的
维同调群：
-
0 维同调群
表示
上的
点；
-
1 维同调群
表示
上的
闭曲线；
-
2 维同调群
表示
上的
闭曲面。
……
，两个（或两个以上）不同的闭曲线可能属于同一类，
如果他们可以共同围出来一个区域，我们称这两个曲线属于一个同调类。（对于二维或高维定义类似。）不过读者请放心，本文最关心的是一维同调群
。
里面的元素是如下形式：
都是
中的闭曲线，所以
里面的元素就是一些
闭曲线的代数和。
。回忆高中课本上的
平面向量基本定理：平面上，不共线的两个向量，可以通过代数和的形式（线性表示）表达出任意向量。 我们把这样两个不共线的向量称为平面
基底。平面任意一组基底内向量的个数只能为2，这恰恰也是平面维数是2的原因。特别地，笛卡尔坐标系实际上就可以视为将任意一个向量都拆解为一组正交基：
也有类似的性质：
圆环面
同调群
中的一组基底正好就是
上的经线圈、纬线圈，而且换句话说，同调群
的维数是2维。（习惯上我们更喜欢说“秩”等于2.）显然，两个经线圈可以围出来一个平环，两个纬线圈也可以围出来一个平环（见图6）；而一个经线圈和一个纬线圈无法围出一块区域，所以它们是两个
独立的同调类。
的秩是2，这究竟意味着什么呢？回忆我们前面所介绍的同调类的定义，如果两个闭曲线属于同一个同调类，那么它们就会围出来一个区域，这不符合我们的追求；
所以我们的目标是去寻找不同的同调类。这就像是我们想要在平面上找两个不共线（线性无关）的向量是一个道理。那么最多有几个同调类呢？拓扑学家已经证明，环面
上只有两类。所以最终的答案是：
.
，
表示曲面有几个“洞”。也正因为我们的地球没有洞，所以我们才理所当然地认为一个圈有内外之分。
Part5总结
拓扑学是一门既生动又艰深的学科，代数拓扑对于普通中学生而言更是遥不可及。“无限风光在险峰”，“虽不能至心向往之”，本文希望通过一个最简单的拓扑学现象，逐渐深挖，结合中学所学的知识，尝试去感受同调群的威力，感受代数拓扑学的美感。同时在探索的过程中，一方面我们通过几何直观去寻找可能的答案，另一方面介绍代数工具建立其问题框架，最终给出严格、系统的说明，数形结合的思想依然熠熠生辉。
注释
简单闭曲线，即不自交的、首尾相接的曲线。
这种较为复杂的闭曲线，虽然和经纬线圈有本质的不同（两者不同伦），但是在同调意义下是等效的：具体的做法就是“截弯取直”，用一段经（纬）线取代环绕的部分。这事实上正是一维同伦群中心化后得到一维同调群的原理，即Hurwitz定理。
所不同的是，向量空间是定义在数域上的（
等），而此处的同调群是定义在整数群上的。
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