「高中数学」“幂函数”的概念以及简单的图像性质及应用∽

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一、幂函数的概念:

一般地，函数【y=x^α】叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

二、幂函数的图像与性质

1、6个常见幂函数的图像与性质

2、幂函数知识辨析

(1)幂函数的图像都过点(0,0),(1,1).【解】错，α＜0时不过(0,0)；

(2)幂函数的图像一定不出现在第四象限，但可能出现在第二象限.【解】对,正数的任何次幂都是正的，但复数的偶次幂是正的.

(3)当幂指数α取1,3,1/2时，幂函数y=x^α是增函数.【解】对,α＞0时是增函数.

(4)当幂指数α=-1时，幂函数y=x^α在定义域上是减函数.【解】错,y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减.

(5)当α=0时，幂函数y=x^α的图像是一条直线.【解】错,y=x^0中x≠0,故图像应该是直线y=1去除点(0,1).

(6)若幂函数y=x^α的图像关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大.【解】错,y=x^α是奇函数，但α＜0时，函数在在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调.

3、已知几个幂函数在同一坐标系中的位置，如何判断它们的指数大小.

根据幂函数在第一象限内的图像确定幂指数α的大小关系，结论如下:

①在(0,1)上，指数越大，图像越靠近x轴(简记为“值大图低”);

②在(1,+∞)上，指数越大，图像越远离x轴(简记为“值大图高).

三、幂函数性质的应用.

幂函数的性质与参数α可以互相确定:

(1)幂函数y=x^α中只含有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等.

(2)也可由幂函数的性质来得出α的值或范围:①利用单调性求出α的取值范围；②利用奇偶性结合其他条件确定α的值.