确定定义域后求取值范围

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有些求取值范围问题，看起来很复杂，实际上就是求值域问题，只不过需要先求定义域。只要牢牢把握问题的实质，适当灵活处理一下定义域，还是非常有规律的。

例1 x、y均大于0，且x＋y＋3=xy，求x²＋y²＋2xy＋2x＋2y＋3取值范围。

分析：令x＋y=t，则x²＋y²＋2xy＋2x＋2y＋3=t²＋2t＋3，换元后很清楚地可以看出这就是一道求值域问题，只要求出t的范围再求值域就可以了。

解：x＋y＋3=xy≤1/4（x＋y)²

令x＋y=t

则t＋3≤1/4t²

t²－4t－12≥0

t≥6

x²＋y²＋2xy＋2x＋2y＋3

=t²＋2t＋3

f（t)=t²＋2t＋3在[6，＋∞）上单调增加

f（t）取值范围是[51，＋∞)

分析解题过程，关键是求x＋y=t的取值范围。

例2 二次函数y=ax²＋bx＋c过（0，－1），（1，0），顶点在第三象限，求a－b＋c取值范围。

分析：令w=a－b＋c，有3个自变量，先根据题目条件用含有a的代数式表示出b和c，代入w求出w的解析式，再求出a的取值范围，最后求出w=a－b＋c的取值范围。

解：由y=ax²＋bx＋c过（0，－1），（1，0）

得c=－1

a＋b＋c=0

进而得b=－a＋1

令w=a－b＋c=a－（－a＋1）－1=2a－2

又由题意可知a＞0，b=－a＋1＞0

得0＜a＜1

所以w=a－b＋c=2a－2取值范围是（－2，0）

从上面两个例题可以看出，一些取值范围问题可以转化为求值域问题，这种解题思路要把握好。有了这个思路，这两个例题的解决只要想办法求出定义域就OK了。