高一好题精讲：零点求范围 高一数学

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高一期末好题精讲：零点求范围。

继续好奇经讲，直接来看这道题。告诉我们一个三段分段的函数，f、x等于常数m有六个零点，要让我们求这六个零点和的取值范围。

看完这道题，这道题的题点在哪里？它的关键点在什么？还是在分段函数。因为我们知道只要是分段函数问题，分段函数分段化，所以一段一段看一下。

首先这个是二次函数，简单已知可化。这个对数带绝对值，这个一次函数整体带绝对值，再向下平移两个单位，所以核心考到了绝对值函数的画法。

重点来看一下，比如这种对数系列带绝对值的又出现了，那它怎么画？上一个视频还讲过只画不带绝对值的，比如log以二为底的x画好之后，留上边就是x轴上方的保持原样，下方的翻上去对称上去，整个就变成了带绝对值的函数图像。

而且这个函数上如果有两点所对应的函数值是相等的，那这两字变量有关系，比如就像这个函数，这两个字变量相乘一定等于一，这是属于它每一次的考点。

如果这个不知道，具体怎么去推演这个公式来看一下，就有题目可以知道的。这两个所对应函数值相等就是log以二为底的x1的绝对值等于log以二为底x2的绝对值，就是根据这个来的。

接下来有绝对值就要去掉，看一下x2很明显是大于一的，所以去掉绝对值不变号，因为大于正数大于一整个值大于零，x1在零到一正数零到一之间，整个式子是负的去掉绝对值要变号，负的等于正的，一个下就是log以二为底的x2加上log以二为底的x1等于零，不就是log以二为底的x1、x2等于零吗？落个一二为一得多少等于零？不就是一吗？所以它俩相乘等于一。

这个点一定要清楚，当这个点清楚之后这道题就特别简单了，快速的解一下它的答案。

接下来要画这个函数的图像，第一段小于零的时候，一个开口朝下的二次函数对称轴负二a分之b就是负二，整个画出来就是这个样子，负二带进去对应的函数值等于二，我相信大家都行。

第二个函数图像刚才画过，先画一个什么，然后留上边翻下边就长成这个样子。第三段x减八的绝对值，本来先找到八零画一个它的图像，也是由上边翻下边，这两个合起来就是x减八的，然后再减个二就是向下平移两个单位，所以画一下就长成这个样子。

刚好两个在四的时候，带进去对应的值都是2，所以这里连在一起了。

现在说这个函数等于m，那等于m要有六个更，通过图像一看，这个m必须是在这个范围内，所以画一个满足的跟它有六个交。从左向右依次假设为x1、x2、x3、x4、x5、x6，那么这么多零点求和还是要想对称，想对称会发现x1加x2轴对称就等于对称轴二倍等于多少？负四，然后x3、x4不对称。

这俩说过，这俩货出来考的是它俩的成绩为定值，它俩成绩一定等于一，然后这个又是对称的x5加x6等于十六。有了这样之后，它们六个要加起来，这两个是负四，这两个是多少？十六，一加就是十，所以整个式子就是x3加x4加十，再求最值。

有两个变量要去求范围，看着已知成绩求和就想用基本不等式，还是那句话，老赵说看着能用基本不等式，但它求的不是最值，它求的是取值范围，最好用消元函数的方式去求，因为它要着两边的边界，所以在这比如把x3利用这个等式变成x4分之一，整个式子不就是x4加x4分之一加十吗？

这就变成了关于x4的一个函数，要求它得知道x4的范围，这是x4，在这条直线变化的过程中，它从一取到几？从一取到四，一和四都不能取，所以它的范围就是一到四。

这个函数是关于x4的一个对勾函数，随便画一下，顶点就是它俩相等x等于一的时候，会发现在一到四这一段上整个函数是什么？增的一，在这假如四在这，所以这一段函数整个是增的，所以一带进去就是它的左边界一加一加十二就是十四，然后四带进去就是四加四分之一加十二就是它的右边界同个分四分之六十五，所以它对应的范围十四到四分之六十五也就简简单单的结束了。

这道题非常好，把常见的这些函数乘积为定值和为定值的形式基本上都考到了，所以看一下对每一个基本的模型是不是非常的熟练，只要足够熟练解决这类问题也就轻轻松松，简简单单。

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