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调和级数为无穷级数的研究提供了极好的素材。让我们深刻分析它的无限发散性质。我们将采用两种不同的方法。首先，矛盾证明法。
假设级数收敛，我们表示其和为：
我们可以把这个系列分成几块重新组合起来
分成如下两种样式：偶数形式的级数和奇数形式的奇数
在我们进一步讨论之前，先提醒一下。我们不能总是把一个无穷级数切成小块。举个例子
根据划分的的方式，这个级数的值是0或1。它是发散的：部分和在0和1之间交替，直到无穷。它不是趋向一个单一的值
所以我们只能以这种方式分解一个收敛级数。而且，级数必须是绝对收敛的。绝对收敛意味着即使我们取每个项的绝对值，级数也会收敛。如果我们用一个发散级数来尝试，最终就会出现非常严重的问题。
我们假设调和级数收敛。因为每个项都是正的，所以假设意味着绝对收敛。我们可以继续
由上可知，偶数级数与奇数级数的和相等：
接下来，我们逐项比较偶级数和奇级数：
每一项都大于它下面的一项。奇级数大于偶级数。
这两个级数既相等又不相等。出现矛盾。因此，调和级数收敛的前提是错误的。这个系列是发散的。
此外，每增加一项，部分和就增加一项。我们不仅知道级数是发散的，我们还知道它会无限地变大。
下一个：一个更直观的方法，需要一点点微积分知识
在下面的插图中，级数的每一项都对应于矩形的面积。每个矩形都在曲线上方一点点。因此，x = 1右侧曲线下的面积必须小于级数的和
这很好，但是曲线下的面积是多少？
曲线下的面积无限增大。因此，矩形内的面积总和也必须无限地增加。
这是真的。
所以我们可以从第一个证明开始知道调和级数是收敛的。然后，我们可以把它作为我们的目标来证明曲线下的面积是无限的。
我们把矩形移到左边现在它们都在曲线下面。只考虑x = 1右侧的面积。矩形面积的和比级数的和小1。但是我们的第一个证明使我们确信和式趋于无穷。删除第一个矩形不会改变它。曲线下的面积越大，矩形面积也必然是趋于无穷大
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