有关调和级数发散的两个简洁证明

有关调和级数发散的两个简洁证明由上可知 偶数级数与奇数级数的和相等 接下来 我们逐项比较偶级数和奇级数 每一项都大于它下面的一项 这两个级数既相等又不相等 只考虑 x 1 右侧的面积

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调和级数为无穷级数的研究提供了极好的素材。让我们深刻分析它的无限发散性质。我们将采用两种不同的方法。首先,矛盾证明法。

假设级数收敛,我们表示其和为:

有关调和级数发散的两个简洁证明

我们可以把这个系列分成几块重新组合起来

有关调和级数发散的两个简洁证明

分成如下两种样式:偶数形式的级数和奇数形式的奇数

有关调和级数发散的两个简洁证明

在我们进一步讨论之前,先提醒一下。我们不能总是把一个无穷级数切成小块。举个例子

有关调和级数发散的两个简洁证明

根据划分的的方式,这个级数的值是0或1。它是发散的:部分和在0和1之间交替,直到无穷。它不是趋向一个单一的值

所以我们只能以这种方式分解一个收敛级数。而且,级数必须是绝对收敛的。绝对收敛意味着即使我们取每个项的绝对值,级数也会收敛。如果我们用一个发散级数来尝试,最终就会出现非常严重的问题。

我们假设调和级数收敛。因为每个项都是正的,所以假设意味着绝对收敛。我们可以继续

有关调和级数发散的两个简洁证明

由上可知,偶数级数与奇数级数的和相等:

有关调和级数发散的两个简洁证明

接下来,我们逐项比较偶级数和奇级数:

有关调和级数发散的两个简洁证明

每一项都大于它下面的一项。奇级数大于偶级数。

这两个级数既相等又不相等。出现矛盾。因此,调和级数收敛的前提是错误的。这个系列是发散的。

此外,每增加一项,部分和就增加一项。我们不仅知道级数是发散的,我们还知道它会无限地变大。

下一个:一个更直观的方法,需要一点点微积分知识

在下面的插图中,级数的每一项都对应于矩形的面积。每个矩形都在曲线上方一点点。因此,x = 1右侧曲线下的面积必须小于级数的和

有关调和级数发散的两个简洁证明

这很好,但是曲线下的面积是多少?

有关调和级数发散的两个简洁证明

曲线下的面积无限增大。因此,矩形内的面积总和也必须无限地增加。

这是真的。

所以我们可以从第一个证明开始知道调和级数是收敛的。然后,我们可以把它作为我们的目标来证明曲线下的面积是无限的。

有关调和级数发散的两个简洁证明

我们把矩形移到左边现在它们都在曲线下面。只考虑x = 1右侧的面积。矩形面积的和比级数的和小1。但是我们的第一个证明使我们确信和式趋于无穷。删除第一个矩形不会改变它。曲线下的面积越大,矩形面积也必然是趋于无穷大

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