课堂呈现｜我这样讲“数学归纳法”

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《数学归纳法》课堂实录

前面我们学习过合情推理和演绎推理。今天我们再着重讲讲合情推理中的归纳推理。

复习引入

完全归纳法：逐个验证

不完全归纳法：验证部分，然后猜想

眼见一定为实吗？

乌鸦真的全是黑的吗?

不是！世界上确实存在着全身白色或身体部分是白色的乌鸦。

例如，非洲的坦桑尼亚就有三种并非全黑的乌鸦，一种叫做斑驳鸦，身长40多厘米，颈项上有白色的圈，胸部是白色的羽毛;另一种叫白颈大渡鸦，颈部和背部都生长着月牙形的白毛，非常好看，还有一种叫斗篷白嘴 鸦，嘴是白色的。最令人惊奇的，是在日本发现了一只全身皆白的真正的白乌鸦！

归纳法两种形式比较

既然，用不完全归纳法得到的结论未必可靠，那我们就需要对归纳出的结论进行适当的验证，才能在生活中加以应用。

这节课主要研究，对于不能逐一验证的结论，该如何去进行证明。

新课导入

“多米诺骨牌游戏原理探秘”

你知道多米诺骨牌吗？

问题1. 在多米诺骨牌游戏中，你知道能让所有的多米诺骨牌倒下的条件是什么？

（动图观察、讨论、归纳）

问题2. 第一块骨牌倒下，说明游戏的开始。那你认为，条件（2）的作用又是什么？

分析讲解：

要完成多米诺骨牌游戏：

首先，要让第一块骨牌倒下，这是游戏能够完成的基础，如果第一块不倒下，游戏必然不能完成；

其次，条件（2）中第k+1块骨牌倒下，必须是由第k块骨牌倒下而引起的（风吹倒的算吗？），这样才能保证依次递推（依次推倒）的效果。

这种感觉，是不是有点类似数列递推公式中，由第一项能求第二项、再由第二项能求第三项、再由第三项能求第四项……那样可以无限求下去？

当然，在数列中，首先要已知了首项，才能确保后续的递推有意义了。

这种感觉，是不是也有点象久违了的《算法》中的——循环结构了呢？

新课讲解

多米诺骨牌原理的应用：

对于某些含有正整数n的命题证明，可以试着仿照这样的思路。

比如：

分析：

显然，左式用常规求和方法是非常困难的，但是因为n的可以无限大，该等式也没有办法依次进行验证。

那我们不妨考虑，是否能用多米诺骨牌的原理去进行说明？

比如：首先验证n=1时，等式成立；

再验证如果n=k等式成立时，看能否证明n=k+1时等式也成立。如果也成立的话，那是不是就有点多米诺骨牌的意思了呢？

证明：

综合（1）（2）可知，

原等式成立。

这种方法称之为“数学归纳法”。

其中，第一步为“归纳基础”，

相当于“第一块骨牌成功倒下”；

第二步为“归纳递推”，

相当于“前一块骨牌倒下，引起了后一块骨牌的倒下”。

有了这两个条件，对于所有的n来说，等式都是成立的（相当于所有的骨牌都能倒下）。

数学归纳法

数学归纳法的基本原理

有比较，好理解

解法分析

证法赏析：

问题1. 上述证法正确吗？

问题2. 上述证法与多米诺骨牌原理相符吗？

问题3. 上述证法是数学归纳法吗？

评析：

对本题结论来说，上述证明方法没有太大问题，而且处理过程有思想、有技巧。

但是，在第二步验证n=k+1等式成立时，并没有用到n=k的假设，那么这个假设其实就是多余的。相当于在堆积多米诺骨牌时，后一块骨牌的倒下与前一块骨牌没有任何关系，这当然是不符合游戏原理的。

因此，从方法的角度来说，这种证明方法可以看作放缩法，但不属于数学归纳法，

数学归纳法：

特别说明：

1. 在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，务必要确保“两个步骤、一个结论”的结构完整。
2. 在用数学归纳法证明时，n=k+1的证明务必要用到归纳假设，否则，不属于数学归纳法。

课堂小结

课后练习