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1.合数即因数不只1和本身的数。设为a，两数b与c关于模m同余，即（b-c）/m=整数k，m可写作de两整数相乘，（b-c）/d或e的结果都是整数。
2.某些数对于同一个模m同余，那么彼此互为剩余。
3.同余的数有相同的最小剩余，不同余的数最小剩余不同。
4.A与a关于m同余，B与b关于m同余，则（A-a)/m=k，（B-b)/m=n，合并得(A+B-a-b)/m=k+n，可知A+B与a+b关于m同余，类似可推出C与c关于m同余……，可知A+B+C+D+……与a+b+c+d……关于m同余，加号变为负号同样成立，只要把数作为负数处理即可。
5.A与a关于m同余，（A-a）/m=k，A与a同时扩大n倍，则n（A-a）/m=nk，nA与na关于m同余。
6.A与a关于m同余，B与b关于m同余，从定理5可知，AB与Ab关于m同余，Ab与ab关于m同余，则AB与ab关于m同余。类似ABCD……与abcd……关于m同余。
7.从6可以推出，A的n次幂与a的n次幂关于m同余。
8.x为不定数，设x取f（定值），f与g关于m同余，则f的a次幂与g的a次幂关于m同余，f的a次幂扩大A倍与g的a次幂扩大A倍关于m同余，同理f的b次幂扩大B倍与g的b次幂扩大B倍关于m同余……，可推出A倍f的a次幂+B倍f的b次幂+……与A倍g的a次幂+B倍g的b次幂+……关于m同余，A倍ⅹ的a次幂+B倍ⅹ的b次幂+……与A倍y的a次幂+B倍y的b次幂+……关于m同余。
9.用X代替上式ⅹ多项式，ⅹ取连续整数，ⅹ的每个值可关于模m有最小剩余，ⅹ的取值不同，多项式不同，其最小剩余不同，最小剩余在0到m的范围内取，连续的不同ⅹ值，对应不同的最小剩余，m次后取尽可取的数，再取就会重复，所以m为周期重复。
10.X的关于ⅹ的多项式，所对应的最小剩余，若未包括0到m范围内的所有整数，如ⅹ的立方-8ⅹ+6关于模5对0与2不同余，则ⅹ的立方-8ⅹ+6=0与ⅹ的立方-8ⅹ+4=0无整数解或有理数解。假设ⅹ的立方-8ⅹ+6=0有整数解，则（ⅹ的立方-8ⅹ+6)/5=0，推出ⅹ的立方-8ⅹ+6与0关于模5同余，与已知矛盾，所以假设不成立。若是有理数解b/a，则方程两边同时乘以a的立方，可将方程化为整数方程，可推出该方程中的多项式与0关于模5同余，而实际情况下，该多项式不能整除5（该多项式为b的立方-8乘a的平方乘b+6乘a的立方，若a=b，ⅹ为整数不用讨论。若a≠b，再分两种情况讨论，都不是5倍数或其中一个是5的倍数，这时不能整除5，若a与b都是5的倍数，因a≠b，可以消除公倍数5直到b/a最简，则代入Ⅹ中，得到的多项式不能整除5。其他类型ⅹ多项式同理)，也就不可能与0关于5同余。
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