向量的点积

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点积的定义

线性代数中，n维向量v和w的点积定义如下，点积的结果为一个标量（只有数值，无方向）：

针对二维和三维向量，向量a和b的点积根据定义计算公式可以写为：

点积的几何定义

另外，从几何意义上来说，a和b的点积还可以按照下面的公式来计算：

|a|、|b|表示向量的模（长度），θ表示向量a和b之间的夹角

点积的应用

我们先不关注为什么这两种计算方法是等价的，点积的主要作用是可以用来计算角度，点积是线性代数很多内容的核心，可以用来简化大量的计算，线性代数也是计算机图形学必须要掌握的学科之一。

例子：已知三维xyz坐标系a，b两点的坐标，如何计算向量a和b之间的夹角θ？

根据前面的点积的公式和几何定义我们可以推导出计算角度θ的计算公式：

说明：cos-1为反余弦函数函数，用来根据余弦值计算角度

有了上面的公式，接下来我们使用Julia语言来实际计算下这个角度值是多少

# 计算向量a和b之间的夹角 using LinearAlgebra # 向量a,b的定义 a = [4, 8, 10] b = [9, 2, 7] # 向量的点积 dot_product = dot(a, b) # 求向量a，b的模长 length_a = norm(a) length_b = norm(b) # 求θ角的余弦值 cos_θ = dot_product / (length_a * length_b) # 求theta的弧度值 θ = acos(cos_θ) print("θ的弧度值为：", θ) # 求θ的角度值 print("\nθ的角度值为：", θ * (180/pi), "°")

运行结果向量a和b之间的夹角为38.2…°，你可以尝试使用其他的方法计算下试试，蛮复杂的。

θ的弧度值为：0.78 θ的角度值为：38.464°

证明点积的几何意义和坐标定义为什么是等价的

最后，来证明下为什么点积的坐标公式和几何定义是等价的，根据三角形的边长公式可知

说明：

1. a，b为向量，红色有向线段AB表示从b指向a的向量，三个向量组成一个三角形；θ为a和b之间的夹角；

2. 向量以三维向量为例进行演示，向量以坐标(x,y,z)表示。向量AB的坐标可以表示为(ax-bx,ay-by,az-bz)。

逐步展开推导如下

最后得出的结果等号两边刚好是叉积的坐标定义和几何定义，两种方式得出的结果是相同的，证明完毕。