空间向量——求平面与平面所成角

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一、考点概述

在高考中，利用空间向量求解平面与平面所成的角，主要考察考生对空间向量的理解、掌握以及运用向量法求解空间角的能力。这一考点通常出现在立体几何的题目中，要求考生能够准确建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，并利用向量的夹角公式求解平面与平面所成的角。

二、解题步骤

1. 建立空间直角坐标系：根据题目已知条件，建立适当的空间直角坐标系，并标出相应点的空间坐标。
2. 求出平面的法向量：利用已知点的坐标和平面的方程（如果给出），或者利用向量的点积性质（两个向量垂直当且仅当它们的点积为零），求出平面的法向量。
3. 利用向量夹角公式求解：代入向量夹角公式，计算两个平面法向量之间的夹角余弦值。需要注意的是，平面与平面所成的角是这两个平面法向量夹角或其补角的锐角（或直角）。因此，在计算过程中，要根据实际情况选择正确的夹角或补角作为答案。

三、注意事项

1. 建系要恰当：建立空间直角坐标系时，要确保坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度选择恰当，以便于后续计算。
2. 法向量要准确：在求出平面的法向量时，要确保向量的方向和长度准确无误。同时，要注意法向量可能不是唯一的，但它们的方向应该是一致的。
3. 夹角范围要正确：在计算平面与平面所成的角时，要注意夹角的取值范围，并根据实际情况选择正确的夹角或补角作为答案。
4. 注意题目要求：在解题过程中，要仔细阅读题目要求，确保答案符合题目要求的形式和精度。

四、典型例题

例如，题目可能给出两个平面的方程，要求求出这两个平面所成的角。解题步骤包括建立空间直角坐标系、求出两个平面的法向量、利用向量夹角公式求解等。

五、总结

空间向量在高考数学中用于求解平面与平面所成的角是一个重要的应用点。通过掌握空间向量的基本概念和性质，以及熟练运用向量法求解空间角的方法，考生可以更加高效、准确地解答相关题型。同时，在解题过程中要注意建系的恰当性、法向量的准确性以及夹角范围的正确性等方面的问题。

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