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图1
信号的傅里叶变换为：
图2
但傅里叶变换存在一个条件：
图3
这个条件意味着可以进行傅里叶变换的函数不能在所有的时间域内都存在非0值，也就是函数f(t)必须在有限时间内衰减到0值，所以
图4
也就是说，f(t)乘以衰减因子后，就会在有限时间内衰减至0，从而可以进行傅里叶变换，因此，拉普拉斯变换就是迫使函数满足绝对可积条件的傅里叶变换。
由于拉普拉斯变换存在着以下的微分性质：
图5
从而可以通过这个性质利用拉氏变换求解微分方程：
图7
同时，令
图8
又引出了Z变换。
简单总结拉普拉斯变换的作用就是：
1：拉普拉斯变换就是添加了衰减因子从而迫使函数满足绝对可积条件的傅里叶变换。
2：拉普拉斯变换可以用来求解微分方程。
3：拉普拉斯变换引出了Z变换。
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