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√2是无理数的证明：
√3是无理数的证明：
假设√3是有理数,不妨设：
√3＝p/q 其中（p,q）=1
则有,p^2=3q^2
因为(p,q)=1,所以(p^2,q^2)=1
故可得：3|p^2
得：3|p^2
故可设p=3k
由√3＝p/q
得：√3＝3k/q (k,q)=1
得：q=3k^2
由上,同样可证：3|q^2
因此,3是p^2与q^2的公约数
这与(p,q)=1矛盾.
综上所述,√3为无理数.
√6是无理数的证明：
假设√6不是无理数,而是有理数.
既然√6是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：
√6=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式.
把 √6=p/q 两边平方
得出6q^2=p^2
由于6q^2必定为偶数,故p为偶数
设p=2m,代入得出6q^2=4m^2即3q^2=2m^2
由于2m^2必定为偶数,故3q^2也为偶数
即q^2为偶数,得出q也为偶数
既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是既约分数矛盾.这个矛盾是有假设√6是有理数引起的.
因此√6是无理数.
那么，问题来了，这种方法是不是可以证明所有的数字开根号都是无理数呢？
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