揭秘泰勒级数

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

在数学中，函数的泰勒级数或泰勒展开式是项的无限总和，这些项以函数在单个点处的导数表示。

当我第一次阅读上面的定义时，我觉得我在读希腊语（我不懂希腊语，说清楚）。项的无穷和的概念本身就很容易混淆，这个和用函数在某一点的导数的 therm 表示是什么意思？这个叫做泰勒级数的东西是用来做什么的？让我们现在就知道！

为什么叫泰勒级数？

在数学中，级数是无限求和的简称。想象一下，您想将所有自然数相加。您可以先将 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 相加……但是这个总和什么时候结束？答案是永远不会。自然数是无限的，所以你会无限地累加，永远也到不了尽头。

古希腊人埃利亚的芝诺考虑过这个问题。他认为对无限级数求和不可能得到有限的结果（这里无限这个词只是为了强调它是无限的事实），并创造了一个悖论，命名为[The Achilles]( https://iep . utm.edu/zenos-paradoxes/#SSH3ai）。想象一下，我们有一个名叫阿喀琉斯的人，他是古代跑得最快的人，正在与一只从他身边爬开的乌龟赛跑。它们以恒定速度运行直线路径。为了到达乌龟，我们的跑步者需要到达乌龟当前所在的地方。但是当他到达它时，乌龟爬到另一个位置，如此类推。芝诺假设空间和时间是无限可分的（连续的），而不是离散的或原子的。

这里的数学要点是，将我们的种族划分为无限多的子种族，这些子种族需要有限的时间才能抓到乌龟，因此它的总和是有限的。

与下面问题的原理相同：

当我们对 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … 求和时会发生什么？答案是结果是 1。我们可以形象化地思考边长为 1 的正方形。然后用上面的分数填充它。您会看到该值收敛到 1，这意味着它填满了整个正方形。

现在我们理解了名称中的“系列”部分，值得一提的是，“泰勒”部分来自 ，他发表了通用方法于 1715 年构建此类系列。

定义

泰勒级数的一个基本解释是，我们可以通过一个多项式来逼近一个函数，该多项式与函数在给定点周围的行为非常匹配。通常，给定一个函数f(x)和一个点a ，以a为中心的f(x)的泰勒级数由下式给出：

其中f(a’)是a的导数，f(a”)是a的二阶导数（二阶导数是f(a)的导数的导数，依此类推），而 2! 表示 2 的阶乘（例如：3 的阶乘为 3 * 2 * 1）。

让我们把它放在一个真实的函数上，假设f(x) = sin(x)。我们还将采用前四个泰勒多项式：

在上图中，我们的中心是 0。您可以看到所有函数都以 x = 0 为中心。看一下蓝线。在x = 0附近，我们的函数 T1 是一条直线，近似于原始函数f(x) = sin(x)的行为。二阶多项式是一个二次函数（绿线），它捕获了我们原始函数的更多曲率。随着我们的 N 增加（我们采用的多项式的数量），泰勒多项式越来越接近原始函数。事实上，泰勒级数（它是所有泰勒多项式的无穷和）在一定的收敛半径内收敛于原函数。

用途

但总的来说，什么时候使用泰勒函数？它们有很多应用，例如

• 级数的部分和（我们上面讨论的泰勒多项式）可用于近似函数。
• 使用泰勒级数的前几项进行近似可以使在受限域内看似无法解决的问题成为可能。（在物理中经常使用）
• 评估定积分
• 了解渐近行为
• 限制的确定
• 复分析中一个非常重要的方程是根据泰勒级数定义的。

结论

使这篇文章更短一些，因为我不会涵盖一些更高级的内容（我打算将来这样做，需要多学习一点）。如果你习惯了高中数学，泰勒级数真的令人印象深刻。无穷级数的概念很有意思，引起了物理学、数学和哲学界的讨论。泰勒级数是一个强大的数学工具，值得学习。