八上数学三角形中线最全知识点汇总

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三角形顶点与对边中点之间的线段，称为三角形一边上的中线。这节课开始总结三角形重要线段中线。

三角形中线的性质：

⑴三角形的中线是条线段；⑵一个三角形有三条中线，三条中线都在三角形内部；⑶三角形的中线分割出的两三角形周长差等于两邻边差。⑷三角形中线等分三角形面积(重要考点就是利用中线平分三角形面积)。⑸直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

利用中线平分三角形面积很简单，过三角形的任一个顶点做一条中线就能把三角形平分成两个面积相等的三角形。

图1

如图1，△ABC的AB边有一个点D，过D做一条直线平分△ABC的面积，并说明理由。

作图方法：连接CD，过A做CD的平行线交BC的延长线于E，连接DE(蝴蝶模型，等面积转化)△ABC与△BDE的面积相等，过D做△BDE的中线，DF就平分△ABC的面积。

三角形中线长定理(帕普斯定理)：

图2

条件：AD为三角形BC边上的中线。结论：AB²+AC²=2AD²+BD²+CD²=2AD²+½BC²(左方+右方=二倍中方+下方的一半)个人觉得这样比较好记(证明方法双勾股)。

三角形三条中线必定交于一点，这个交点称为三角形的重心，重心在三角形内部。

三角形重心

三角形的重心有以下几个重要性质：⑴S△AFG=S△BFG=S△BGD=S△CGD=S△CGE=S△AGE=S△ABC/6；根据这个结论还可推出S△AGB=S△BGC=S△CGA=S△ABC/3以及四边形AFGE、BFGF、CEGD面积相等，当然△ABD、△ACD、△BAE、△BCE、△CBF和△CAF这些三角形面积也都相等。

⑵重心G是中线的三等分点，即DG：AG=1：2；同样的FG：GC=1：2；EG：BG=1：2。

⑶平面直角坐标系中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则三角形重心G的坐标为［(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3］。

三角形中出现中点必须想到的辅助线：

倍长中线倍长类中线

⑴三角形中出现边上的中点，自然想到中线，有中线一般等长度延长中线，构造出八字形全等。右图点D不是三角形的顶点，E为BC边的中点，DE称为类中线，类中线也可以倍长，但只能在异侧构造全等。结论：BE平行且等于AC(左图)；CF∥AB，CF=BD(右图)。

图3

⑵直角三角形见斜边中点，一定做斜边中线。BD=AD=DC，会出现两个等腰三角形。

⑶等腰三角形见到底边的中点，一定做中线，出现三线合一。

⑷平行线所夹线段出中点，过中点做一直线和两平行线构造出八字形全等三角形。

中位线

三角形的中位线：三角形任意两边中点的连线，这条线段称为三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形的第三边(DE∥BC，DE=½BC)。中位线的判定：端点在三角两边上，平行且等于第三边一半的线段为三角形的中位线；过三角形一边中点与另一边平行的直线和第三边相交，中点和交点之间的线段，为三角形的中位线。

三条中位线重要性质

中位线里隐含的重要性质：三角形三条中位线将三角形分割成四个全等的小三角形△ADE≌△DBF≌△DFE≌△EFC(这四个三角形面积相等，周长相等)，任一个小三角形的面积为△ABC面积的1/4，周长为△ABC周长的一半；由此还可得到四边形ADFE、DBFE、DFCE均为平行四边形，且面积、周长相等；

所以当三角形边上出现中点时，还要想到构造中位线作为辅助线，这是见到中点，想到的第五类辅助线的做法。