高中数学学习（48）——双曲线

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#高中数学#

1，双曲线：

双曲线这个名词我们在初中也接触过了，那时候我们管反比例函数的图像叫双曲线。

到了高中，我们学到真正意义上的标准双曲线，反比例函数图像的双曲线就要改个名字了，叫类双曲线。

双曲线和我们上节课讲的椭圆可以对比着学习。

椭圆是到两定点距离之和始终相等的所有点的轨迹。

而双曲线是到两定点距离之差始终相等的所有点的轨迹。

其中两定点依旧是双曲线的两个焦点。

2，双曲线的标准方程：

椭圆是x与y之间相加的关系，双曲线是x与y之间相减的关系。

3，双曲线中参数量的意义：

双曲线，我们主要研究的还是a,b,c,e四个字母。

其中，在椭圆中叫半长轴长的a在双曲线中叫半实轴长，在椭圆中叫半短轴长的b在双曲线中叫半虚轴长。

那么，哪里是实轴，哪里是虚轴呢？

大家观察上面双曲线的图像，会发现双曲线不像椭圆那样和x轴、y轴都有交点，双曲线只和其中一个轴有交点。

那么，双曲线有交点的那条轴的两个交点之间的距离，就是实轴长，实轴是实实在在存在的。

那么虚轴在哪呢？

虚，就是不存在的意思，也就是说，虚轴在标准图像上是不存在的，我们需要把它画出来。

怎么画？

过实轴其中一个顶点，做双曲线所交坐标轴的垂线，这条垂线与双曲线的两条渐近线的交点之间的距离，就是虚轴长。

大家看上图，AG的长度就是实轴长，BE的长度就是虚轴长。

同时，2a在双曲线中也是有特殊意义的，就是双曲线上任意一点到双曲线两个焦点的距离之差。

在双曲线中，c也叫做半焦距。

两个定点就是双曲线的两个焦点，它们之间的距离就是焦距2c。

e依然是离心率，其大小依然为e=c/a。

那么，在双曲线中，有没有像椭圆中那样的关于a,b,c关系的直角三角形呢？

有，而且有两个。

在双曲线中，有两个重要的同心圆。

第一个就是以坐标原点为圆心，以半焦距c为半径做的圆，这个圆刚好过虚轴的顶点。

也就是上图中的三角形OAB。

在这个三角形中，两条直角边分别为OA=a，AB=b，而OB作为这个圆的半径，是等于c的。

也就是说，在双曲线中，a,b,c的关系为：

因此，在双曲线中，a,b,c三个关键参数中，c一定是最大的。

因此，双曲线的离心率的分子一定比分母大，也就是说，双曲线离心率的取值范围为e>1。

除了这个圆之外，还有另一个圆。

另一个圆依然以坐标原点为圆心，以半实轴长a为半径做圆，这个圆与渐近线的交点恰好是同一边的焦点向渐近线做垂线的垂足。

也就是上图中的三角形ODF2。

其中，OF2是半焦距，长度为c；OD是这个圆的半径，长度为a，根据双曲线中a,b,c的关系，DF2的长度恰好为b。

这个点在考试中经常考到，也就是从焦点向渐近线做垂直，垂线长为b。

好了，双曲线也和椭圆一样，有与x轴相交的，也有与y轴相交的。

椭圆是靠x与y下面的数字大小区分方向。

双曲线中，x与y下面的数字大小不定，那么如何区分方向呢？

x-y形式的就是与x轴相交的，y-x形式的就是与y轴相交的，看谁减谁。

4，渐近线：

刚才我们一直提到这个新名词，那么它是什么意思呢？

语文翻译就好，渐进，逐渐接近。

渐近线就是双曲线无限接近但是永远不相交的那两条线。

初中我们学的反比例函数图像的渐近线就是x轴与y轴。

我们经常考渐近线方程的求法。

有个公式，但是不建议背公式与套公式。

原因是公式只与a,b有关，但是双曲线中，a与b没有固定的大小关系，也没有硬性规定a,b的位置，所以双曲线中谁是a，谁是b，如果没有图只有解析式是很难判定的。

那么怎么求渐近线方程并且保证正确呢？

只要大家把双曲线的标准方程右边的=1改成=0，然后去解y与x的解析式，就是渐近线方程了。

方程很好解，不比套公式慢多少，而且能保证正确。

5，双曲线的通径：

双曲线的通径和椭圆的通径一样，也是过焦点且垂直于实轴的弦，它的长度也是：

双曲线通径的推导过程与椭圆通径的推导过程是一模一样的，都是用凑直角三角形法，唯一区别就是在设长度时。

大家可以自己模仿椭圆通径的推导方法试一下推导双曲线的通径，我们这里就不演示了。

6，等轴双曲线：

等轴双曲线是双曲线中一种特殊的双曲线。

所谓的等轴，就是指的实轴与虚轴。

所以，等轴双曲线就是实轴长与虚轴长相等的双曲线，也就是a=b的双曲线。

等轴双曲线的渐近线方程为y=±x。

等轴双曲线的离心率为√2。

7，共轭双曲线：

共轭双曲线不是一个双曲线，而是一对双曲线。

这对双曲线拥有共同的渐近线。

其中一个双曲线的实轴是另一个双曲线的虚轴，一个双曲线的虚轴是另一个双曲线的实轴。

如果考试考到共轭双曲线，让大家写某个双曲线的共轭双曲线解析式，其实很简单，就把“-”号前后两项交换位置就可以了。

以上，就是双曲线的全部基础内容了，双曲线在高考中的考法与上节课说的椭圆的考法是一致的，只要大家掌握a,b,c,e四个基础参数的意义，初中几何知识没有遗忘，就可以做出填空、选择与大题的第一问。

下节课，我们讲解抛物线的基础内容。

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