第二百九十夜：伯努利错排问题

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“伯努利错排问题”是研究一个排列错排个数的问题。具体而言，就是使得一个排列的所有元素均不在原来的位置上，一共有多少种排列方法。

错排问题也叫重排问题，是组合数学发展史上的重要问题。最早研究这个问题的是丹尼尔·伯努利（约翰·伯努利的儿子，雅各布·伯努利的侄子）。后来欧拉对此产生了兴趣，并独立解决了这个难题，并称其为“组合理论的一个妙题”。因此，历史上也将错排问题叫做“伯努利—欧拉装错信封问题”。

将历史名题引入考试是数学文化的偏好。无论题目优劣，架势一定要拉开，这样就会显得特别有文化。接下来，就让我带你开启文化之旅吧。

第12题，无疑是难题，劈头引入错排问题，犹如泰山压顶。紧接着泰勒公式横空出世，又戛然而止。到此，我是一头雾水，不知所云，惊骇之情油然而生。挣扎俨然离不开痛苦，但放弃又不是我的惯常，所以只能委屈自己，在细微处寻找蛛丝马迹。

目测，选项A和B只和题干的前半截有关。A递推数列求特殊项，既然数据不太大，那就一项一项慢慢推咯；B等比数列的判定，类比构造就好了，实在不行就取特殊项归纳。至此，信心不足者大可收手，2分不费吹灰之力。

如果能求出通项公式，选项C如探囊取物。很遗憾，现在对排列组合公式降低了要求，恐怕有些难度。一旦拿下选项C，那么选项D便可势如破竹。

本题即所谓的高观下的初等数学，观点不可谓不高，但总觉得意犹未尽。最不可思议的是这个递推公式，它就像魔术师帽子中的兔子，来路不明。

但凡来路不明的东西，我总是保持警惕。这不是什么好习惯——凡事都刨根问底，劳神苦形就在所难免。

搞透彻了，心里就踏实了。然而又衍生出了新的问题。既然可以通过排列组合求出递推公式，那么是否意味着可以借此推导出通项公式呢？我们不妨尝试。

在计数时，重复和遗漏是不可忽视的问题。容斥原理就是这样一种计数方法，它的基本思想是：先不考虑重复的情况，将所有对象的数目计算出来，然后将重复的情况排斥出去，使得计算的结果既不重复，也不遗漏。

事实上，错排的概率并非我想关心的问题，我更关注错排的数值。然而，你看到了，利用通项公式直接计算，那是相当的麻烦。

那么有没有一种简便的方法呢？我不得而知，但我可以退而求其次——计算近似值。

通过选项D不难发现，错排的概率在这个定值的左、右来回波动，那么这个定值无疑就是我要寻求的目标。

需要说明的是，以下内容不对高中生作要求。