矩阵的思考-矩阵乘法

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

这篇文章记录我的思路历程，没有直接写我最后的结果，所以比较冗长～～

矩阵的定义

从一个实际的案例说起，假设甲乙两人要购买水果，如苹果，香蕉，这样就得到一个2×2的矩阵，如下：

值得注意的是：

这里可能的疑惑是为什么横竖列这么规定呢？不能换吗？ 当然可以，这里只是为了方便接下来的计算

之后假设甲乙两人需要计算价格，那么苹果和香蕉价格假设为（20,18）：这里就回答来上述的问题，这样写方便计算，如下：

所有的数字随便写的，不要在意

甲 4×2+1*18 乙 2*20+2*18

写成矩阵可简化书写方式。同时也引出了另一个核心事物：矩阵乘法。为了更好的讨论矩阵乘法，我们不妨让第二个矩阵从一列变为两列，所以我们再次为该矩阵增加一列，这列的内容可以定为水果的每千克含水量，单位为克，那么我们得到了新的矩阵，即：

为叙述方便，令前两个矩阵为M1，M2，则M1×M2的结果设为M3，乘法的结果为：

矩阵乘法

许多人会疑惑于为什么矩阵乘法是这样做的，我将从实际出发，尝试去思考矩阵乘法的一般意义：

矩阵乘法的三种意义：

（一）、新矩阵中位于i行j列的值等于被乘矩阵第i行乘以相乘矩阵第j列的值

首先来看，在原矩阵这意味着什么：如M3（1,1）表示甲的花费，等于甲买的水果量乘以分别的价钱。理所当然，来考虑一些细节

• 行列所代表的意义的变迁
• M1中的行是水果种类（苹果，香蕉），列为人（甲乙）
• M2中的行是所需要从水果获得的新数值（花费，含水量），列为水果种类
• M3中的行是获取的新数值，列为人

结果是，列的含义保持了最原始的，而行的含义变为了最新的

• 来对此做一次整体归纳或者说抽象
• 行的含义我称为位置，可以说为是在矩阵世界中的各个维度值、观测结果（苹果，香蕉）
• 列的含义我称为观测方式（甲，乙）

这里，可能想到有两个问题：

1. 在最上面的表格中，甲乙不是在行中，苹果香蕉不是在列中吗？
2. 每一行的具体的含义还可以理解，但是每一列呢？除了甲乙外，在矩阵中不就是表示水果重量的数字吗？这也叫观测方式？

这样来审查一下之前对行和列含义的定义 —— M1中行为水果种类，列为人

这个说法仔细讨论起来几乎是错的，行的元素应该是同一个人拥有水果种类的重量，列应该是不同人拥有同一种类水果的重量。进一步来想，如果真的要把行的含义称为矩阵世界的各个维度意义，那么人就很别扭了，人的维度值、观测结果是水果的重量？

细想来，在M1中，甲乙是拥有苹果和香蕉（等水果），那么把拥有的苹果和香蕉当成是一个整体，这样它的观测结果就可以说通了。可以想到，刚所述的可以比为一个分子与分母的关系，即M1的元素含义是（苹果的重量/甲的水果整体，香蕉的重量/甲的水果整体，苹果的重量/乙的水果整体，香蕉的重量/乙的水果整体）

因此以这样较为严格的方式来说，之前中“行列所代表意义的变迁”几乎都是错的。

• 第一个问题根本就不是问题，甲乙、苹果香蕉就不在矩阵中。
• 关于第二个问题，这里我依旧将之前认为行列的意义视为正确的，重新组织一次行列意义的变迁。

先叙述行：

• M1中行是水果集合中各种类型水果的重量
• M2中行是水果的各种性质（把M2中水果的价格和含水量统称为水果的性质）：
• M3中行是水果集合的各种性质。

那么不变的地方是什么呢，是水果整体，水果整体在矩阵是什么？

• 水果整体反应了每一行的整体性质，单独的看，可以称为列；水果种类反应了列的整体性质，单独的看，可以称为行。

在此，再次，我重申之前的观点：

• 行，称为观测点，是某种观测方式下的结果集合
• 列，称为观测方式，是看待某种实物的方式集合
• 行和列的意义不同

在这种意义下，不变的是最初的观测方式，在此，我要解释水果集合是观测方式这一点：

• 举例来说，M1的第一个数字意义是，以当前的水果集合来看苹果，苹果在当前的观测方式下重量是4kg
• M2中第一个数字的意义是，以当前的水果（苹果）来看价格，苹果在当前的观测方式下价格是20
• 所以，观测方式这个词可能会在不同场景下具体化成为不同的专用词，意会即可

之前我提到可以用分子分母类比，那么结果就是

性质/水果整体（M3） = 水果重量/水果整体（M1） × 性质/水果重量（M2）

归纳

新观测结果集合/旧观测方式集合 = 旧观测结果集合/旧观测方式集合 × 观测结果集合/以旧观测结果集合为基础的新观测方式集合

这其实就意味着 观测结果和观测方式是可以相互转化的

重新来看矩阵乘法的意义： （一）、新矩阵中位于i行j列的值等于被乘矩阵第i行乘以相乘矩阵第j列的值

新的观测结果为，用以前观测方式下得到的观测结果去观测新的实物所形成的观测结果，注意的是，这个观测方式是观测方式的集合，每种观测方式观测对应的事物的同一方面（维度），而对新的维度的观测综合结果是是将这些获得的观测结果相加。换句话，以原观测方式为基本，根据已有观测数据，使用适合观测数据的新观测方式去获得新的结果。

• 其实可以类比人的价值观：出发点是人，人现在有的价值观是观测结果；根据现有的结果，去观测新的东西，将获取新的东西进行整理归纳，形成来新的价值观。

来看一下新矩阵一行的结果：

• 新矩阵中的行是M1一行与M2中每一列的乘积的结果集合
• 意味这使用原已有观测结果集合去使用新的观测方式集合去观测各种维度并整体汇总形成新的观测结果集合

这样就有矩阵乘法的第二种意义： （二）M3是使用M1的行对M2的行线性组合的结果

新矩阵一列的结果：

• 新矩阵中的列是M1中每一行与M2中每一列的乘积的结果集合
• 意味使用原来所有的观测结果集合用新的观测方式集合去观察单一维度，整体汇总，我们就得到了新的观测结果，因为观测结果相关同一方面，所以即成为新的观测方式

这样就有矩阵乘法的第三种意义： （三）M3是使用M2的列对M1的列线性组合的结果

最后，我来遐想一下观测结果与观测方式的转化：

在孟岩 理解矩阵（三）中，提到“矩阵又是坐标系，又是变换”，这里我也提出了，所谓的观测点和观测方式是可以相互转化的。矩阵作为一个整体，既是观测结果集合，同是也是观测方式集合，而观测结合可以去变换观测结果集合。观测结果与观测方式的一致性，让我不由得想起了知行合一。正如之前我提到的人的思想，是人观测世界获得的结果，同时也可以作为基础，指导人继续去思考，获得新的结果。这个获得新结果的方式即为乘以一个新的矩阵，可以类比为实践人的思想，实践的方式即可以是学习书本，通过书本知识来通过现在的想法获取新知识，也可以说是通过应用来指导实际活动，来考察思想的价值，从而对思想不断提炼。