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光滑映射与几何对象的传递
设 ϕ:M→N是流形间的光滑映射，我们需要解决以下问题：
如何将 N上的函数或微分形式“拉回”到 M上？
如何将 M上的向量场“推前”到 N上？
这些操作的目的是在流形间建立几何结构的对应关系，使得在坐标变换或对称性操作下，物理量或几何量的性质得以保持。
一、定义
1、拉回（Pullback）
目标：将 N上的函数或微分形式通过 ϕ映射到 M上。
定义：
符号 f∘ϕ表示函数的复合（Function Composition），即先应用函数 ϕ，再将结果输入到函数 f 中。其数学定义为：
(f∘ϕ)(x)=f(ϕ(x)).
这种复合操作广泛用于数学和科学中，用于描述连续变换、映射的传递关系或对数据的多步处理。
本质：通过复合与微分映射的伴随，将高维（目标流形）的几何信息“拉回”到低维（源流形）。
积分不变性：若 ϕ 是保体积的，则
示例1：函数拉回
示例2：微分形式拉回
2、推前（Pushforward）
目标：将 M上的向量场通过 ϕ 映射到 N上。
定义：
本质：通过切映射将向量场从源流形“推”到目标流形，保持局部线性结构。
示例：
3、李导数
ϕt：通常表示由向量场生成的流（flow），即单参数微分同胚群，满足
dϕt/dt=X∘ϕt（X 为向量场）。
星号 ∗ ：表示对张量场的拉回（pullback）操作，即通过微分同胚 ϕt将流形上某点的张量反向拉回到原点的操作。
李导数通过拉回定义为：
示例：
二、平移流（Translation Flow）
定义
向量场：X=∂/∂x（沿 x方向的常向量场）。
流：ϕt(x,y)=(x+t,y)，表示点沿 x 轴匀速平移。
1、推前（Pushforward）
1.1 操作对象：
1.2 计算
即：
几何意义：向量分量不变，仅基点平移。平移流的推前保持向量场的分量不变，仅改变基点位置。
2、拉回（Pullback）
操作对象：函数或微分形式。
几何意义：平移流的拉回仅改变函数的自变量位置，微分形式的分量保持不变。
3、李导数
3.1 函数
3.2 向量场
推导过程
3.3 微分形式
三、缩放流（Scaling Flow）
流的定义
1、推前（Pushforward）
1.1 操作对象：
1.2 计算
即：
结论：缩放流的推前将向量场的每个分量缩放 e^t，保持方向但改变基点位置。
2.拉回（Pullback）
操作对象：函数或微分形式。
结论：缩放流的拉回将函数自变量缩放 e^t倍，
1-形式的系数缩放 e^t倍，
2-形式的系数缩放 e^(2t)倍。
3、李导数
3.1 对函数
3.2 对向量场
3.3 微分形式
四、旋转流（Rotation Flow）
定义
1、推前（Pushforward）
2、拉回（Pullback）
3、李导数
3.1 对函数
3.2 对向量场
3.3 对微分形式
五、Hamiltonian流（以谐振子为例）
定义
1、推前（Pushforward）
2、拉回（Pullback）
3、李导数
3.1 对函数
3.2 对向量场
3.3 对辛形式
六、指数映射流（以SO(3)为例）
定义
1、推前（Pushforward）
2、拉回（Pullback）
3、李导数与李代数
3.1 函数
3.2 向量场
3.3 左不变形式
李导数计算小结：
七、共性分析
|
流类型 |
函数李导数 |
向量场李导数 |
微分形式李导数 |
|
平移流 |
方向导数 |
李括号为零（常向量场） |
形式分量沿平移方向变化 |
|
缩放流 |
径向导数 |
李括号生成原场（标度协变） |
形式分量指数缩放 |
|
旋转流 |
角向导数（可能为零） |
李括号生成旋转偏移 |
旋转对称形式导数为零 |
|
Hamiltonian流 |
能量守恒（导数为零） |
李括号对应相空间演化 |
辛结构守恒（导数为零） |
|
指数映射流 |
群不变函数导数为零 |
李括号对应李代数结构 |
满足Maurer-Cartan方程 |
数学本质：所有流均通过外微分（d）、李导数（LX）和拉回/推前的对偶性，将局部微分性质与整体积分性质统一。
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