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在张量分析和线性代数中，行向量与列向量分别对应于协变矢量和逆变矢量，其本质区别在于它们在基变换下的变换规则不同。
协变基和逆变基是对偶关系，基矢量内积为1
笛卡尔坐标基矢关系，基矢量单位长度为1，彼此要么垂直，要么平行。
一、线性变换
基本知识看动图！
二、求和约定（爱因斯坦）
爱因斯坦求和约定
三、行列矢量与协逆坐标基关系
协变逆变基
1.行向量与协变矢量（Covariant Vector）
协变矢量属于对偶空间，其分量在基变换时随基变换矩阵的转置同步变化。例如，当基向量通过矩阵 B 变换时，协变矢量的分量需右乘 B^T（或等价地，用 B的转置进行变换）。
行向量的矩阵形式为 1×n，在基变换下表现为：
这种变换方式与协变矢量的定义一致，因此行向量自然对应协变矢量。
2.列向量与逆变矢量（Contravariant Vector）
逆变矢量属于原空间，其分量在基变换时以基变换矩阵的逆矩阵进行变换。若基向量通过矩阵 B 变换，逆变矢量的分量需左乘 B^−1。
列向量的矩阵形式为 n×1，其变换规则为：
这种逆变换行为与逆变矢量的特性相符，故列向量对应逆变矢量。
3、变换规则的几何意义
逆变矢量的物理意义是“箭头”，其分量随基的缩放而反向调整（如基伸长，分量缩短）。
协变矢量则类似于“梯度”，其分量与基同向变化（如基伸长，协变分量也伸长），确保如梯度运算的几何意义不变。
为什么用分量的上下标区分协变与逆变？
4.内积与指标约定
协变矢量（行向量）与逆变矢量（列向量）的内积通过矩阵乘法实现：
该标量在基变换下保持不变，符合张量运算的协变性要求。
通过度量张量 gij，协变与逆变分量可相互转换：
对应行向量与列向量通过矩阵乘法（如 g或其逆）转换。
5.总结对应关系
|
类型 |
矩阵形式 |
变换规则 |
几何角色 |
|
协变矢量（行向量） |
1×n |
ω′=ωB^T |
对偶空间，梯度类 |
|
逆变矢量（列向量） |
n×1 |
v′=B^−1 |
原空间，位移类 |
示例
这种对应关系确保了物理量和几何对象在不同坐标系下的一致性，是张量计算和现代物理学的基石。
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