为什么样本方差的分母是 n-1？

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为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？

上面有答案解释得很明确，即样本方差计算公式里分母为的目的是为了让方差的估计是无偏的。无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是而不是才能使得该估计无偏。我相信这是题主真正困惑的地方。

要回答这个问题，偷懒的办法是让困惑的题主去看下面这个等式的数学证明：

但是这个答案显然不够直观（教材里面统计学家像变魔法似的不知怎么就得到了上面这个等式）。

下面我将提供一个略微更友善一点的解释。

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===================== 答案的分割线 ===================================

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首先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然而方差未知。在这个条件下，根据方差的定义我们有

由此可得

因此 是方差的一个无偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！

这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。

现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值替换掉上面式子中的。这样做有什么后果呢？后果就是，

如果直接使用作为估计，那么你会倾向于低估方差！

这是因为：

换言之，除非正好，否则我们一定有

而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！

这个不等式说明了，为什么直接使用会导致对方差的低估。

那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母换成，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了：

至于为什么分母是 而不是 或者别的什么数，最好还是去看真正的数学证明，因为数学证明的根本目的就是告诉人们“为什么”；暂时我没有办法给出更“初等”的解释了。

via：魏天闻（知乎）

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