从二元一次方程组的求根公式谈起

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二元一次方程组的行列式解法

一个关于x和y的二元一次方程组：

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我们用加减法，容易求得它的解是：

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这就是二元一次方程组的求根公式，用已知数代入，就可以立刻算出x和y的数值。

我们为了便于记忆，可以用二阶行列式来表示上面的求根公式：

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例题1：解下列的二元一次方程组：

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注意 利用行列式来表出二元一次方程组的求根公式，非常容易记忆，记忆的方法是：

(1)分母都是系数行列式D，它是x和y的系数，只要按照原方程组中同样的次序排列就得。

(2)x的分子只要把D中的x项系数换作常数项系数。

(3)y的分子只要把D中的y项系数换作常数项系数。

例题2：再看一道例题，如下图所示：

求问号四边形的面积

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我们作辅助线，把题目要求的四边形面积分为两个三角形面积，并分别设为x和y。列出二元一次方程组求解，问号处的面积就等于x+y。

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三元一次方程组

遇到三元一次方程组的问题，可以先在三个已知方程中取出任意的两个来，用加减法消去一个未知数；再把所取两个方程中的任意一个换以未取的一个，仍然消去同一个未知数。这样一来，就得到两个新方程，它们都是二元一次方程组，照前法解它们合成的方程组就得。

例题3：解下面的三元一次方程组：

消元法

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三元一次方程组的求根公式见下图。

挑战四元一次方程组

例题4：解下面的四元一次方程组：

我们用公式解法，请看下图：

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现在根据公式求解x的值：

其余三个未知数请大家仿照例题解法自己计算。

答案在几张图片后揭晓。

总结

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。

四阶行列式展开有24项，可以考虑展开为四个三阶行列式的代数和。

三阶行列式可以展开为三个二阶行列式的代数和。

举个例子：

把多元一次方程组的求根公式推广一下，就得到克莱姆法则，见下图所示。

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特别收录

行列式是重要的数学工具，线性代数是高等代数，这里考虑初中生的接受程度，只做非常粗浅的介绍，帮助我们掌握线性方程组的解法和求根公式。

行列式的概念见下图。

又称为对角线法则

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资料来自《数学辞海·第一卷》。

顺便提一下，几何题的三点共线的证明可以用到行列式。

三点共线的充要条件是下图所示的行列式的值为零。

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