BJ13，从平面反演跨越到空间反演：探索几何变换的新维度

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在数学的奇妙世界里，我们常常从简单的平面几何开始探索，逐渐深入到更为复杂且神秘的空间领域。平面反演，作为平面几何中一种独特而富有魅力的变换方式，已经展现出许多令人惊叹的性质和规律。然而，当我们的视野从二维平面拓展到三维空间时，一场更为精彩的变革即将上演——空间反演应运而生。它不仅继承了平面反演的某些核心思想，更在新的维度上衍生出了一系列复杂而美妙的现象。从熟悉的平面反演出发，逐步迈向空间反演的未知领域，这将是一次充满挑战与惊喜的数学探索之旅，让我们一同开启这扇通往新维度的大门。

—— 历史 ——

反演问题研究可追溯至20世纪20年代，Hadamard为其理论奠基。40年代起，Tikhonov小组深入研究，推出正则化方法并著经典专著。同期，Landweber、Fridman等发展多种求解法。Backus和Gilbert提出的理论成地球物理线性反演重要基础。70年代CT技术推动其发展，地震勘探中相关方程的改进催生多项技术。全波形反演受关注且不断优化。反演在多学科有应用，从不同学科有不同认识。如今反演面临新挑战，如地球物理领域需提高准确性、结合先验信息与多源数据联合反演等，有待进一步研究解决。

—— 平面几何 ——

—— 反演 ——

反演变换(Inversion transformation)定义

平面几何反演是在一个给定的平面内进行的一种变换。首先需要确定一个反演中心 （这是平面内的一个固定点）和一个非零的实数 （通常把取为正实数），这个实数被称为反演幂。

图1，定义

此处仅给出了基于圆的一种常见反演定义形式。实际上，反演的定义并非一定依赖于画出具体的圆来构建。

在常见的定义描述中，所涉及的线段采用的是长度的概念，这样的方式便于初高中阶段在日常学习与应用中理解和操作，主要聚焦于基础的几何关系呈现。

然而，如果运用有向线段来进行定义，则能够更加清晰明确地判断点处于圆外还是圆内的位置关系，从向量的角度为反演的定义增添了方向属性，使得点与圆的相对位置信息通过有向线段的正负方向得以精准体现，在理论的严谨性和位置关系的明确性上更具优势，有助于对反演概念进行更深入细致的剖析和应用拓展。

幂也可以是负实数，这会带来不一样的反演特性。有兴趣的读者可以看我的视频，深入了解反演变换中负幂的奇妙世界。cs690，正（反）幂反演·作图_哔哩哔哩_bilibili

反演作图基础

图2

由图2中的代数角度，可以得到，定义反演只要有反演中心和反演幂即可。

—— 平面反演性质 ——

性质1、保圆性

知识1.1、圆变换成直线

图3，题

图4，作图

反演的性质：过反演中心的圆，它的反演象为一直线。

在图 4 所呈现的几何场景中，我们能够清晰地观察到两圆相交这一情形。此时，当我们考虑其中一个圆关于另一个圆进行反演操作时，会出现一个十分有趣的现象，那就是这个圆的反演象呈现为相交的直线。

特别地，当点 B 与点 P 重合时，这种情况就显得更为独特了。我们发现，B 的反演象会对应到直线上的无穷远点，这一现象为我们理解反演变换以及相关几何元素之间的关系提供了关键的视角。

通过这样的变换过程，我们可以深刻地领悟到一个重要的几何概念，那就是直线其实可以被看作是一种特殊的圆。

从常规的圆的定义来看，圆有着明确的圆心以及有限的半径，其图形呈现出封闭的曲线形态。然而，直线在某种程度上，可视为半径趋近于无穷大的 “圆”。当我们运用反演变换这一工具，将圆与直线在这种特殊的对应关系中进行考量时，直线所具备的这种作为特殊圆的属性便更加凸显出来了。这种特殊的视角打破了我们对传统圆和直线概念的固有认知边界，让我们能够以一种更为统一、更具关联性的方式去认识和把握平面几何中这些基础元素之间内在的、深层次的联系，也为进一步深入探究更为复杂的几何问题以及几何变换提供了新的思路和理论基础。

知识1.2、直线化圆

图5，题

图6，作图

对于那些不经过反演中心的直线而言，当对其进行反演操作时，其反演象会呈现为一个圆，而且这个所生成的圆具有一个显著的特点，那就是它必然会经过反演中心。

知识1.3、保圆性

图7，题

图8，作图

保圆性：不过反演中心的圆反演象还是一个圆。

若一个圆不经过反演中心，那么它经反演变换后的反演象依旧是圆；而当圆经过反演中心时，其反演象就变成了直线。同样地，对于直线来说，若它不经过反演中心，反演后的反演象会是一个经过反演中心的圆；要是直线本身经过反演中心，那它的反演象仍然为直线，这些规律共同构成了平面反演中关于圆与直线相互转换的独特图景。

应用1、作一个圆与已知两圆相切，这个圆同时与它们的公切线相切

图9，题

图10，作图

在图 10 的作图过程中，巧妙地运用了平面反演所具备的保圆性以及保角性这两大重要性质。正是借助这两种独特的性质，使得整个作图得以顺利开展，它们在其中发挥着不可或缺的作用，为准确绘制出相应图形提供了有力的依据。

—— 反演性质 ——

性质2、保角性

平面反演是保角变换，即两条曲线在交点处的夹角在反演变换下大小不变。对于平面上的两条曲线，它们的夹角是指在它们交点处，两条曲线的切线所夹的角。

图11，知识

—— 小结 ——

在反演变换的奇妙领域中，直线与圆呈现出一一对应的关系，这得益于其独特的保圆性与保角性，例如阿波罗尼斯圆定理、托勒密定理等相关图形的构建，都能通过反演变换得到新颖而巧妙的展现。其中，直线与圆的夹角被定义为交点处直线与圆的切线所形成的夹角。反演变换在平面几何证明中有着诸多巧妙应用，像蝴蝶定理等的证明，它都能大显身手。若您想深入探究，不妨查看我过往的视频，一同领略几何之美。

—— 空间反演变换 ——

—— 球极投影 ——

球极投影定义

图12，知识

如图12，绿色球体与灰平面相切于点B，直径DB，D为中心，作三射线与球交得FHJ，与平面交得GKC。则称，△FJH的球极投影是△CKG，点F的投影C，J的投影K，H的投影G。D称为北极点，B称为南极点。

球极投影，其实就是空间的反演变换。以DBF平面为例

图13，平面与球相切

由图13得到切面

图14，切面图

通过仔细观察图 14 能够发现，当我们设定 D 为反演中心，并选取 DB 作为反演半径时，会呈现出一个很有意思的现象：球面上的每一个点都能够一一对应地转化为某条直线上的相应一点。

正是基于这样的对应关系，我们得以对空间的反演变换性质展开证明。

具体而言，在空间环境里，倘若存在一个球，且这个球是经过我们所设定的反演中心的，那么经过反演变换后，该球的反演象就会变成一个平面。

特别要指出的是，这个所得到的平面有着独特的位置特征，它会在南极点处与原来的球相切。在这里，我们事先定义了反演中心为北极点，并且明确了南北极点之间的连线构成了该球的直径。

—— 球极投影性质 ——

性质3、保圆性

知识3.1、过反演中心的球，反演象是一个平面。

知识3.2、不过反演中心的球，反演象是一个球。

知识3.3、过反演中心的平面，反演象还是它本身。

知识3.4、不过反定中心的平面，反演象是过反演中心的一个球。

知识3.5、球面上的圆，不过反演中心时，反演象是圆；过反演中心时，反演象是直线。

性质4、保角性

图15，保角性

平面上的ΔKGC在D为反演中心，DB为反演半径，的反演象为球面ΔJHF，这个球面三角形由圆(DFJ)、圆(DFH)、圆(DHJ)的圆弧围成。

如图，记圆(DFH)为e，记圆(DHJ)为q，这里的保角性指的是，平面角KGC等于圆eq夹角。

应用2、单尺找圆心不可问题（单墫）

单墫，1943 年 11 月生，江苏泰州市人，是我国著名的数学传播、普及和数学竞赛专家。单老师在他的著作《直尺作图与其他》给出了单尺找圆心不可问题的答案。

图16，题

作者简述，球极投影的保角性就说明了这一点，如果能直尺找到圆心，且作图是直线，那么球极投影下，作图痕迹之间的夹角也保持不变，就是说，原象和象的圆心是一一对应关系，这样是不成立的。具体可以看单老师的作品。

性质5、圆投影的圆心

这次以DHF这个切面来思考。

图17，空间切面

图17，化平面，如下图18

图18，截面圆

图19，调和性质

由图19可得，球面圆(FHJ)上的点所在切线组面一个圆锥，圆北极点与这个圆锥的顶点联结的直线与投影平面相交的点为圆(GCK)的圆心。这里也说明了单尺找圆心的不可能。

—— 作者小结 ——

平面反演与球极反演不仅仅是抽象的数学概念，在生活中也有着意想不到的应用与体现。在物理学的电场、磁场分布研究中，通过类似反演的思维方式，能够简化复杂的场分布模型，帮助科学家更好地理解和预测物理现象。在计算机图形学里，反演变换被用于图像的变形、对称变换等操作，使得图形设计更加多样化和富有创意。甚至在艺术创作中，如某些雕塑作品和建筑设计，也运用了反演元素来构造独特的视觉效果，展现出一种别具一格的美学特征，让我们在日常生活中也能感受到数学之美与实用价值的交融。