公切线切点变形秒解！三步激活成功教程几何隐藏分

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一、常见题型

1. 两圆公切线问题求两圆的外公切线或内公切线长度。切点坐标的求解（如两圆相切时的切点）。涉及几何性质（如切线垂直于半径、切点连线性质）。
2. 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的公切线求某条直线与圆锥曲线的切点坐标。已知切点，求切线方程（如利用导数法或判别式法）。两条圆锥曲线的公切线问题（如椭圆与抛物线的公切线）。
3. 公切线与距离、角度的综合问题利用切线性质求点到直线的距离。结合三角函数或向量求解角度问题。

二、解题思路

1. 几何法利用圆的切线性质（切线垂直于半径、切点连线平分公共弦）。圆锥曲线的切线方程公式（如椭圆 a2x2+b2y2=1 在点 (x0,y0) 处的切线方程为 a2xx0+b2yy0=1）。
2. 代数法联立方程组，利用判别式 Δ=0 求切线条件。参数化切点坐标（如抛物线的参数方程）。
3. 导数法对曲线方程求导，得到切线斜率，进而写出切线方程。
4. 变形技巧切点坐标的对称性或比例关系（如中点公式、相似三角形）。利用切线方程与原方程的联立，消元后求解。

三、典型例题

例1：两圆公切线长度

题目：圆 C1:(x−1)2+(y−2)2=4 和圆 C2:(x−3)2+(y−4)2=9，求两圆的外公切线长度。
解析：

1. 计算圆心距 d=(3−1)2+(4−2)2=22。
2. 两圆半径 r1=2, r2=3。
3. 外公切线长度公式：L=d2−(r2−r1)2=8−1=7。

例2：椭圆切线与切点

题目：椭圆 4x2+y2=1 上一点 P(2cosθ,sinθ)，求过 P 的切线方程。
解析：

1. 利用椭圆切线公式：4xx0+yy0=1，代入 P 坐标得 4x⋅2cosθ+y⋅sinθ=1。
2. 化简为：xcosθ+2ysinθ=2。

例3：公切线与距离

题目：抛物线 y2=4x 与直线 y=kx+1 相切，求切点坐标。
解析：

1. 联立方程：(kx+1)2=4x。
2. 展开得 k2x2+(2k−4)x+1=0。
3. 判别式 Δ=(2k−4)2−4k2=0，解得 k=1。
4. 代入 k=1，解得 x=1, y=2，切点为 (1,2)。

例4：双曲线公切线

题目：双曲线 9x2−16y2=1 与直线 y=mx+n 相切，求 m 与 n 的关系。
解析：

1. 联立方程：9x2−16(mx+n)2=1。
2. 化简为 (16−9m2)x2−18mnx−9(n2+16)=0。
3. 判别式 Δ=0，得 324m2n2+36(16−9m2)(n2+16)=0。
4. 化简后关系：n2=16m2−16。

四、高考应用总结

1. 选择题/填空题：常考公切线长度、切点坐标的快速求解（如利用几何性质或公式）。
2. 解答题：常与圆锥曲线综合，结合导数、判别式法求解切线方程或参数。
3. 技巧总结：优先使用几何性质简化计算。代数法需注意判别式的应用。切点坐标的对称性或比例关系是高频考点。

通过掌握公切线切点的变形求值方法，可以高效解决高考中的解析几何问题，提升解题速度和准确性。

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