统计学基础 | 概念全面梳理, 统计学不再难

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Hi 你好，我是玫森

在日常工作场景中，当密密麻麻的数据表格铺满屏幕，是否有过无从下手的迷茫？又或者，当听到有人提及 “总体”、“样本”、“参数”、“统计量”和“变量”这些术语的时候，陷入困惑？统计学不仅仅是枯燥的数字游戏，更是是一种语言，一种帮助我们与数据深度对话的特殊语言。

下面带大家全面认识基础统计学的几个核心概念:

【定义, 应用，总体与样本，参数与统计量，变量、变量数据类型】

统计学的定义

统计学是一门关于用科学的方法收集、整理、汇总、描述和分析数据资料，并在此基础上进行推断和决策的科学。简单的说：收集数据，处理数据，分析数据，从中得出有意义信息，帮助你做推断和决策。

统计学的应用

它通常应用于两种类型的问题：描述性统计与推理性统计

1.描述性统计：

描述性统计学是统计学的一个分支，涉及数据的总结、组织和有意义、简洁的呈现。它专注于描述和分析数据集的主要特征和特性，而不对更大的总体进行概括或推断。

描述性统计的主要目标是提供数据的清晰、简洁的总结，使研究人员或分析师能够获得洞察力，理解数据集中的模式、趋势和分布。这种总结通常包括如中心趋势（例如，均值、中位数、众数）、离散度（例如，极差、方差、标准差）以及分布的形状（例如，偏度、峰度）等度量。

描述性统计学还涉及通过图表、图形和表格对数据进行图形表示，这可以进一步帮助可视化和解释信息。常见的图形技术包括直方图、条形图、饼图、散点图和箱线图（这些图形的应用场景与图形实操往后的分享中会陆续介绍到）

通过使用描述性统计学，研究人员可以有效地总结和传达数据集的关键特征，促进对数据的更好理解，并为进一步的统计分析或决策过程提供基础。

比如：假设有20名学生在某次考试中的以下分数：

85, 90, 75, 92, 88, 79, 83, 95, 87, 91, 78, 86, 89, 94, 82, 80, 84, 93, 88, 81

将数据Key in Minitab，通过如下路径可以计算出所有的统计量

得出用于描述这20个成绩数据的所有相关的统计量，如：均值，标准差、方差、中位数、极差、众数。

关于什么是统计量，继续往后阅读有介绍。

以上的统计量也可以通过多种图形用目视化的方式呈现，如用“图形化汇总”的方式，可以非常清晰的了解到关于此组数据所有统计量描述。

描述性统计就是通过这样对数据进行概括和总结方式，呈现样本的基本特征。

2.推理性统计：

推理性统计是通过样本数据对总体进行预测和推断的统计方法，涉及到假设检验、置信区间的工具，其核心思想是通过概率理论，量化样本结果对总体的推广性，帮助在数据不确定性下做出科学决策。

描述性统计输出的是数据，推理性统计输出的是推断 决策。

总体与样本

研究对象的全体称为总体，它通常由所研究的一些个体组成。如由多个企业构成的集合，多个居民户构成的集合等。

从总体中抽取一部分个体进行观察，被抽到的个体组成的总体为样本，若总体中的每一个体都有相同的机会被抽到，这样得到的样本是简单随机样本，简称样本(sample)

如：研究某一班学生的身高，所有学生身高的观测值的全体就构成该班学生的身高总体；而观测15名学生身高所得的15个观测值则是全班学生的身高总体的一个样本，这个样本包含有15个个体。

抽样的目的是根据样本提供的信息推断总体的特征。

比如，从一批灯泡中随机抽取100个，这100个灯泡就构成了一个样本，然后根据这 100个灯泡的平均使用寿命去推断这批灯泡的平均使用寿命。

参数与统计量

1. 参数(parameter)：是用来描述总体特征的概括性数字度量，它是研究者想要了解的总体的某种特征值。对于一个总体，研究者所关心的参数通常有总体平均数、总体标准差、总体比例等。在统计中，总体参数通常用希腊字母表示。

比如，总体平均数用(mu)表示，总体标准差用σ(sigma)表示，总体比例用π(pi)表示等等。

由于总体数据通常是不知道的，所以参数通常也是一个未知的常数。

比如，我们不知道某一地区所有人口的平均年龄，不知道一个城市所有家庭的收入的差异，不知道一批产品的合格率等等。

正因为如此，才需要进行抽样，根据样本计算出某种统计量，然后估计总体参数。

2.) 统计量

数据分析的结果至少有以下三个特征：

• 形状：通过直方图、分布图看形状，不同的形状暗示不同的数据信息。

• 用于描述集中趋势的统计量： 均值、中位数、众数(下图红线表示均值位置)
• 用于描述离中趋势的统计量：极差、方差、标准差、四分位间距（下图橙色线表示离中也叫离散，通常看标准差）

还是以考试分数为例，练习计算相关的统计量:假设你有20名学生在某次考试中的以下分数：

85, 90, 75, 92, 88, 79, 83, 95, 87, 91, 78, 86, 89, 94, 82, 80, 84, 93, 88, 81

• 均值：将所有分数相加，然后除以分数的数量。均值 = (85 + 90 + … + 81) / 20 = 1770 / 20 = 88.5

• 中位数：将分数按升序排列并找到中间值。中位数 = 86（中间值）

平均值描述正态数据，受极端值影响比较大，比如10个人中有一位是百万富翁，9位是穷光蛋，那么这种情况下我们就不能用均值来估计，需要用中位数，用于描述非正态数据的中心趋势。

• 众数：识别出现最频繁的分数（出现次数最多的分数）。众数 = 88

从下图中大家能看到的是什么？

均值相同，但是离散程度不一样，下面的统计量是看离散程度的。

• 极差R：R=Xmax – Xmin计算最高分和最低分之间的差异。范围 = 95 – 75 = 20
• 方差：计算平均值与均值差的平方的平均值。方差 = [(85-88.5)^2 + … + (81-88.5)^2] / 20 = 33.25

• 标准差：取方差的平方根。标准差 = √33.25 = 5.77

方差告诉我们所有数据到平均数有多远，标准差可理解为“每个数据点到平均数的平均距离，实际应用中当然不用手动计算这么麻烦，Minitab 工具可以帮助我们简便完成。

• 四分位间距

第一四分位数(Q1)，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。

第二四分位数(Q2)，又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。

第三四分位数(Q3)，又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

第三四分位数与第一四分位数的差距又称 四分位间距（InterQuartile Range, IQR）

基础图形箱线图会非常直观的呈现四分位间距，往后会单独的模块详细介绍到

以上是描述样本相关统计量的介绍。统计量(statistic)是用来描述样本特征的概括性数字度量。它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数。

对于一个总体，研究者所关心的统计量通常有样本平均数、样本标准差、样本比率等。样本统计量通常用英文字母来表示。

比如，样本平均数用x̄(读作x-bar)表示，样本标准差用s表示，样本比例用p表示等等。

由于样本是已经抽出来的，所以统计量总是知道的。抽样的目的就是要根据样本统计量去估计总体参数。

比如，用样本平均数(x̄)去估计总体平均数(μ)，用样本标准差(s)去估计总体标准差(σ)，用样本比例(p)去估计总体比例(π)等等；

下图展示了总体和样本、参数和统计量的表达方式。

变 量

当我们在进行图形制作时，通常需要选择“变量”，什么是变量？

变量(variable)是说明现象某种特征的概念，

在初等数学中，变量是表示数字的字母字符，具有任意性和未知性。把变量当作是显式数字一样，对其进行代数计算，可以在单个计算中解决很多问题。

变量概念也是微积分的基础。通常，函数y = f（x）涉及两个变量y和x，分别表示函数的值和参数。术语“变量”来源于当参数（也称为“函数的变量”）变化时，值相应变化。在六西格玛统计学的应用当中，y称为响应变量，是特性值，x称为自变量，是因子。比如散点图的应用中，看拉力值与 温度之间的关系，则Y是拉力，X 是温度。

认识数据类型

在数据分析与统计学中，数据可以根据其性质被分为两大类：连续型数据和离散型数据。

1. 连续型数据：

定义：在一定区间内可以取任意数值的数据类型，这些数值是连续不断的，且相邻两个值之间可以无限细分。

示例：身高（如160cm, 160.1cm, 160.12cm等）、体重（如50kg, 50.5kg, 50.54kg等）、温度（如23°C, 23.1°C, 23.12°C等）、光强、长度等

2. 离散型数据：

定义：只能取特定数值或整数，且这些数值之间存在明显的间隔或跳跃的数据类型。

示例：人数（如1人, 2人, 3人等）、商品数量（如1件, 2件, 5件等）、考试成绩（如90分, 85分, 78分等，假设分数以整数计）、单个LED颗粒上气泡的数量，合格/不合格，是/否， 通过/失败，接受/不接受的数量等，这种数据的数值一般用计数方法取得。

不同类型的数据将采用不同的统计方法来处理和分析。

过程能力分析工具选择路径：

控制图工具的选择路径：

还有MSA 、DOE、假设检验等统计工具，就不一一 展示了。

统计学是一门研究数据收集、分析和解释的科学领域。在理解统计学的核心概念和应用时，我们需要掌握总体、样本、参数、统计量、变量和数据类型等基本概念。

正确理解它们将为我们日后更深入的质量,六西格玛工具学习和实践奠定坚实的基础。如果您对统计学的基本概念有任何疑问或想法，欢迎私发留言讨论。

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