高中数学学习（35）——离散型随机变量

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

#文章首发挑战赛##高中数学#

高考大题必有一道概率统计大题，而且这道大题基本都是围绕三种题型考察——离散型随机变量，独立性验证或者线性回归方程。

今天，我们就来讲讲其中的离散型随机变量题型。

1，何为随机变量？

随着试验结果变化而变化的量称为随机变量。

2，何为离散型随机变量？

所有取值可以一一列出的随机变量。

3，分布列：

由离散型随机变量可能的取值与每个取值的概率一一对应形成的表格称为离散型随机变量的概率分布列，或称为离散型随机变量分布列；

其中上面一行列出的是随机变量所有可能的取值，下面一行是其所对应的出现概率。

4，离散型随机变量的性质：

（1）对于随机变量ξ的任何取值x ,其概率值都是非负的；

（2）对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和一定为1。

5，离散型随机变量相关量的求法：

（1）数学期望：所谓数学期望，实际上就是概率学上的平均数，它的求法类似于初中学过的加权平均数的求法：E（X）=X1P1+X2P2+……+XiPi+……+XnPn，也就是每个随机变量可能的取值与其对应的出现概率的乘积之和；

（2）方差：方差就是表示数据波动程度的量，其求法是随机变量每个可能的取值与数学期望的差值的平方乘以其所对应的出现概率的乘积之和；

（3）标准差：标准差就是方差开根。

6，数学期望和方差的性质：

假设几个数的数学期望为E（X），方差为D（X）。

（1）将这几个数都扩大m倍，则它们的数学期望也扩大m倍，它们的方差扩大m的平方倍；

（2）将这几个数都加上n，则他们的数学期望也加上n，它们的方差不变。

7，举例讲解离散型随机变量考题：

例1：从甲地到乙地需要过三个十字路口，设每个路口信号灯的工作是独立的，且在各路口遇到红灯的概率分别为1/2,1/3,1/4，

（1） 设X表示一辆车从甲地到乙地遇到的红灯个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2） 若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车一共只遇到1次红灯的概率。

第一问列分布列，那么我们先把其基本形式画出来：

下面就考虑这辆车从甲地到乙地可能遇到几次红灯了；

可能运气好一次遇不到，也可能运气极差3个红灯全都遇到了，中间的1次，2次都有可能，那么就把这所有的可能性写在上排。

然后分别计算其出现的可能性：

一般情况下，概率越靠边越好算，越向中间越难算，所以我们从外向里算。

一次遇不到的概率

P（0）=1/2*2/3*3/4=1/4；

全部遇到3次红灯的概率

P（3）=1/2*1/3*1/4=1/24；

遇到1次红灯有三种情况，第一个路口遇到或第二个路口遇到或第三个路口遇到，因此其概率

P（1）=1/2*2/3*3/4+1/2*1/3*3/4+1/2*2/3*1/4=11/24；

遇到2次红灯也有三种情况，第一、二路口遇到或第一、三路口遇到或第二、三路口遇到，因此其概率

P（2）=1/2*1/3*3/4+1/2*2/3*1/4+1/2*1/3*1/4=1/4。

注意，计算完了我们可以验证一下我们的计算结果对不对，也就是把所有的概率加起来，看看结果是不是等于1。若不等于1，则一定出现了错误。

另外，如果对自己的结果和计算能力非常有信心，我们也可以留中间一个最难算的不计算，用1减去其他概率得出它的概率。

计算完成，将结果填在表格里即可：

然后计算数学期望，就是每一对X与P相乘的积再相加：

E（X）=0*（1/4）+1*（11/24）+2*（1/4）+3*（1/24）=13/12。

也就是说，无数辆车经过这段路，平均遇到红灯13/12次。

第二问，两辆车一共遇到1次红灯，有两种情况：

第一辆车遇到1次红灯，第二辆车没有遇到红灯，其概率为

P（M）=11/24*（1/4）=11/96；

第一辆车没有遇到红灯，第二辆车遇到1次红灯，其概率为

P（N）=1/4*（11/24）=11/96；

则两辆车一共只遇到1次红灯的概率为

P=P（M）+P（N）=11/48。

这就是离散型随机变量问题的基本做法。

当然，考试的时候，我们还会结合其他内容一起出题，比如二项分布、正态分布等，我们下节课再讲。

大家如果喜欢或者需要这份高中数学学习资料，别忘了点赞关注，我会以最简单明了的方式给大家讲解高中数学，帮助需要的高中生拿个好成绩。