不爱手算开方的拿破仑：皇帝数学手稿中的对数

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拿破仑并不是数学家，数学里的“拿破仑定理”也与他无关，不过，他毕竟在巴黎军校里学过裴蜀（Bézout）的四卷本炮兵数学教材并顺利通过考试，该系列教材涵盖了数学、物理以及少许化学，其数学内容基本相当于今天的高中水平。

那么，军校毕业后的尉官拿破仑具体用到的数学工具是怎么样的呢？

通过炮兵招考后，拿破仑被分配到驻扎在欧索讷（Auxonne）的拉费尔（La Fère）炮兵团，吃上了皇粮，成了王家炮兵少尉。

然而，和大部分进入新课题组的研究生牛马一样，拿破仑·波拿巴少尉很快就被拉到拉费尔炮兵团承担的国家级项目组“如何用加农炮发射榴弹”里充当一线测试苦力。

具体来说，就是考虑在缺乏臼炮的极端情形下，如何用加农炮临时替代臼炮，以高仰角发射榴弹。

充分展现拿破仑计算方法的《关于让加农炮发射榴弹的部署方式的备忘录》（Mémoire sur la manière de disposer les canons pour le jet des bombes）手稿便是他参与该项目后向长官提交的报告，收录在马松1895年出版的《不为人知的拿破仑：未刊文件（1786-1793）》当中。

为了让加农炮像臼炮一样以45°的高仰角射击，就得在炮耳附近配备一个金属架或土堆，让加农炮能够有一个稳定的射击平台。

在这篇文章里，拿破仑花了一两页纸的篇幅展开计算，想要根据加农炮从炮耳附近到炮尾的长度得出仰角为45°时对应的金属架或土堆高度，虽然只是全文里的一小部分，却让人能够一窥拿破仑的数学工具用法。

乍看起来，这个问题并不复杂，仰角45°，那自然就是等腰直角三角形，已知斜边长度L，那么直角边长度H——也就是金属架或土堆高度——直接拿斜边除以根号2就行了。

对身处计算器时代的人来说，这自然非常简单，但对于18世纪末的法国人来说，拿根号2这个无理数作为除数来做除法，那多少还是有点麻烦，无理数应该取多少位小数近似计算一下？取了若干位小数之后，接下来的除法会不会很繁琐？

从实用角度考虑，比较简单的解决方案自然是找一个接近根号2的分数近似一下，就像祖冲之的“约率”那样，用22/7代替π这个无理数作为圆周率进行近似计算，毕竟，战场上不需要无谓的精准，大体将就一下也就成了。

于是，我们可以看到拿破仑用了这么一个计算方式：

我们只需要将斜边长度，也就是从炮耳前一点的位置到炮尾的位置除以7寸，便可得到在45度仰角下金属构架或土堆的高度。

拿破仑这话乍听起来很没有数学常识，斜边除以7寸（sept pouces）等于直角边？你不是已经把长度单位除没了吗？

其实，拿破仑这里在7寸上的确是犯了个错误，但错误不是寸，而是7，结合下方计算结果里的17寸，这里显然是把dix-sept（17）写成了sept（7），也就是说，拿破仑实际上是觉得斜边除以17寸等于直角边。

这里的问题主要是当时人的表述方式和现代人不一样，拿破仑的本意是，你先把斜边L长度换算成以寸为单位，然后拿斜边长度除以17寸，所得纯数字结果再以尺为单位，即为直角边H长度，亦即对应高度。

这里再补充一下，当时法国1尺等于12寸，1寸等于12线，1线等于12点，换成现代人能听懂的人话，就是你把等腰直角三角形的斜边长度做个除法，除以17/12，就是直角边。

17/12是多少，手算也能算出来大约是1.……非常接近根号2了，可以称之为拿破仑版的“约根号2”。

那么，拿破仑这里列出的四个算式是什么意思呢？

有了前后文背景，我们可以很容易地判断出拿破仑是要通过计算证明根号2十分接近17/12，让人放心大胆地用上这个近似值。

这里的算式可以说是千疮百孔，惟一的解释恐怕就是原稿大概就比较潦草，整理这份手稿的马松等人数学水平也很一般，于是在录入过程中，文字部分尚能抄录，算式部分则错漏百出，出现了令后人费解的错误。

第一步很好理解。

但整理者随后就抄出了一个非常低级的错误，把乘号写成了加号：

怎么说呢，但凡把这两个含义相同的式子比对一下，也不至于犯下如此失误。这里就按照正确的式子继续：

随后就是法军炮兵军官的传统手艺，取对数，整理者准确抄录了文本“取对数”。

那么，这里突然出现的四个大写L显然并不是斜边长L，而是代表以10为底的自然对数lg，于是便可以把式子拆成几步写出来便于理解：

可见，拿破仑或整理者又不小心把减号抄成了加号。

不过至此也是大局已定，只需查阅当时炮兵军官人人都有的对数表，就可以查出lg2约等于0.，除以2后为0.。

即

同样通过查表，可知10的3.次幂约为1414，即0.次幂为1.414，于是

换句话说，拿破仑是用查表求出了2的平方根1.414。其实，裴蜀的教材里教过手算开平方的方法，但拿破仑这里却还是利用对数将其算出。

不过，1.414用于除法计算显然比较麻烦，于是，拿破仑利用当时炮兵军官普遍训练已久的单位换算，将1.414尺折算为1尺4寸11线7~8点，也就约合17寸（3~4点的差别几乎可以忽略不计），就此得出结论，可以用17/12粗略替代根号2进行计算。

等于是说，只需要把从炮尾到炮耳这个斜边长度也折算成以寸为单位，而后用该数字除以17，所得结果再以尺为单位，即为45°仰角下的对应金属构架或土堆高度。

回头来看，拿破仑这里运用的数学工具并不超过中学数学水平，但落在不熟悉数学的人手里，也能给你整成鬼都不认识的形状。