微积分基础：微分

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微分（Differential）是数学中的一个重要概念，主要用于研究函数的变化率。

定义

微分描述函数在某一点附近的变化情况。

对于函数 y = f(x) ，在点处的微分记作 dy 或 ，表示为：其中：

• 是函数在处的导数。
• dx 是自变量 x 的微小变化。

几何意义

导数表示函数图像在某点切线的斜率，而微分 dy 是切线在附近的变化量。微分是导数的一个线性近似，表示函数在某点处随着自变量变化的增量。 导数和微分在本质上都是研究函数变化的工具，但导数更侧重于变化率，而微分更侧重于线性近似和变化量。

计算方法

计算微分通常先求导数，再乘以自变量的变化量 dx。例如：

• 函数的导数为，因此微分为。

微分的应用

微分在近似计算中主要用于通过线性近似来估计函数在某一点附近的值，尤其在复杂函数或精确计算困难时非常有用。

1.线性近似（切线近似）

微分的基本思想是用切线近似函数在某点附近的行为。对于函数 f(x) 在点 a 附近的值，可以用以下公式近似：，其中：

• f(a) 是函数在 a 点的值。
• f'(a) 是函数在 a 点的导数。
• (x – a) 是 x 与 a 的距离。

2.误差估计

微分还可用于估计测量误差对结果的影响。若 y = f(x)，x 的误差会导致 y 的误差，近似为：

3.泰勒展开

泰勒展开是微分近似的高级形式，用多项式逼近函数。一阶泰勒展开即为线性近似：

4.牛顿法求根

牛顿法利用微分近似求解方程的根，通过迭代逼近：