数学定律到底是什么？那些”永远成立”的神奇公式大揭秘

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unset什么是数学定律？unsetunset

数学里的定律指的是在给定上下文中总成立的公式或规则，它们描述着数学表达式或变量之间的关系，通常用等式、不等式表示，有时也会说明公式之间的逻辑联系。

比如公式 ，不管把 换成哪个实数，这个不等式永远成立，这就是定律的特点。

如果定律里用了等号，我们就叫它”恒等式(identities)。像 和 都是恒等式，在它们的适用范围内，怎么换都成立。

注意！数学定律和科学定律可不是一回事。科学定律靠观察和实验，描述自然现象；数学定律则是靠逻辑推理证出来的，不用实验验。数学里那些特别重要的定律，通常被叫做”定理”。

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如果 、、 是三角形三条边的长，三角不等式告诉我们：

意思是，任何一条边的长度，都不会超过另外两条边的和。只有当三角形”扁”成一条线（面积为零）时，等号才成立。

放到更广义的欧几里得几何里，三角不等式能用向量表示：

也就是说，两个向量加起来的长度，不会比两者长度之和还长。

勾股定理大概是数学里最出名的数学定理之一了。如上图所示直角三角形里，斜边上的正方形面积等于另外两条直角边上的正方形面积之和。用公式写就是：

这里 和 是直角边长， 是斜边长。

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三角恒等式是关于正弦、余弦这些角度函数的等式。它们和三角形恒等式不一样——后者讲的是三角形角度和边长的关系，而三角恒等式只和角度有关。

在数学、物理和工程里，三角恒等式特别重要。它们能帮我们简化复杂表达式，解积分题，分析周期性现象。

最基础的三角恒等式是 ，不管 是多少度，这式子都成立。反观 ，就只在特定角度（比如 ）才成立，换个角度（比如 ）就不对了。

另一组重要的是涉及加或减的公式，比如二倍角公式 、，把 “大的角” 的三角函数，拆成 “小的角” 的来算，尝试让复杂问题变简单些。

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柯西-施瓦茨不等式应该是数学里应用超广的不等式之一了。它给内积空间里两个向量的内积划了个上界：

这里 是向量 和 的内积， 和 是它们的长度（范数）。

意思是说，两个向量内积的绝对值，不会超过它们长度的乘积。只有当两个向量成倍数关系（线性相关）时，等号才成立。

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鸽巢原理看着特简单：如果你有 个东西要放进 个容器，而且 ，那至少有一个容器里得装不止一个东西。

比如你有三只手套（都不能正反戴），那至少有两只得是同一只手的——不是两只右手，就是两只左手。因为手套只有左右两种，三只里肯定有重复。

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在逻辑学和布尔代数里，德摩根定律是处理”否定”的好工具：

• 非（ 或 ）= （非 ）且（非 ）
• 非（ 且 ）= （非 ）或（非 ）

用符号写就是：

这里 是”非”， 是”且”， 是”或”。

思维三定律是形式逻辑的基本原则：

1. 同一律(law of identity) ：任何事物都等于它自己。简单说，对所有 ：。
2. 矛盾律(law of non-contradiction) ：没什么东西能”既是又不是”。一个命题不能同时为真又为假。
3. 排中律(law of excluded middle) ：任何事物要么是，要么不是，没有中间态。对任何命题 ，要么 真，要么 （非 A）真：。

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本福德定律(benford’s law)特别有意思：很多自然出现的数据里，首位数字不是均匀分布的。数字 1 当首位的概率约 30%，而 9 只有不到 5%。

这和直觉相反——按理说，1 到 9 当首位的概率该都是约 11.1%才对。

强小数定律(strong law of small numbers)是说，小数字在各种数学场景里出现的频率，比直觉里高得多，于是常有看似神奇的巧合。

这就告诉我们，小数字就那么几个，但出现频率会更高，所以它们之间容易有有趣的关联。

来源：遇见数学

编辑：月