大家好，欢迎来到IT知识分享网。
一.复反演
复反演定义式
复反演分解为一个两阶段的过程.其中一个过程就是几何反演(简称反演),其二就是做复共轭(对实轴做反射)!
1.几何反演:如上图所示,两个过程不分先后,复数z点先变成同方向长度为1/r的点:
2.复共轭:再做复共轭（对实轴反射,θ变-θ),即:
二.几何反演或反演
1.单位圆周C:半径R=1的圆周.
对C的反演记为:
反演把C的内域和外域互相交换, 而圆周C上的点则不动（即映到其自身）
2.任意圆周K:半径为R,当R=1时,K=C
对K的反演记为:
反演把K的内域和外域交换, 而K上之点则不动.
若ρ为由q到z的距离, 由q到点K(z)的方向与q到z的方向相同, 而由q到点K(z)的距离为R²/ρ,参见下图:
体会K变C
3.对直线L的反射
记为:L(z)
L把平面分成两块, 或称两个“分支”, 它们在L(z)下互换.
其次, 两个分支之间的边缘上的每一点在L下不动.
最后, L(z)是对合的, 或称自逆的, 意指LoL为恒等变换, 就是使每一点都不动的变换.
考虑一点z及其对L的反射点
这一对点称为互为“镜像”, 或称为“对L为对称”.
对合性就是：反射会使这一对点对换位置.
上图慢慢揣摩体会:L(z)和K(z)
三.对圆周的保持
- 若直线L不经过圆周K的中心q, 则它对K的反演把L映为一个经过q的圆周
k是对合的:若直线L不经过圆周K的中心q, 则它对K的反演把L映为一个经过q的圆周.
反之:一个经过q的圆周,对以q为圆心的圆周K的反演,为一直线L
K是对合的.,把直线L与圆彼此对掉.
所以任一个过q的圆周之象必为一不过q的直线L
- 若圆周C不经过圆周K的中心q,则对K的反演将C映为另一个也不过q的圆周.
反演“保持圆周”
极限情况:
圆周C半径无限大时,即为L,此时K(C)是一过圆周K的圆心q,且与L相切的圆周,回到K对合情形!
- 在对K的反演下, 每个正交于K的圆必映为自己.
C所包围的圆盘被映为其自身.而由K划分出的有阴影的一块与画了斜线的一块互相对换.
其次, 由q到C上一点z的直线必与C第二次相交于反演点K(z).即图中z~
此时,是上述1.和2.的极限情形.
- z对K的反演K(z)是任意两个过z而且正交于K的圆周之另一交点.
当圆周K的半径趋于无限大时,则:K→L
K的半径趋于无穷大时, 对K的反演就变成了对L的反射!
R趋于无穷大,分母为1,K(z)=L(z)
当z趋近p=0时,K(z)=L(z),即对于K在p处的切线的反射.
揣摩体会下图:
- 角的保持
共形是指角的大小与符号均得到保持, 上图右方就是一个共形的变换.
如果相反, 在p点的角被映射为大小相同而符号相反的角, 就说此变换在p点是反共形的,如上图左方!
如果映射在它有定义的区域之每一点都是共形的, 就称之为共形映射;
如果在每一点都反共形, 就称它为反共形映射.
如果一映射只知道它能保持角的大小, 而不知它是否也保持其定向, 就称它为等角映射.
平移z↦(z+c)是共形的!
旋转和伸缩z↦az(a≠0)是共形的!
L(z):直线反射是反共形的!
K(z):对圆周的反演是反共形映射.
反共形的
参见下图:即已知任一不在K上之点z, 恰有唯一的圆周按一定方向经过z而且与K正交.
上图中b展示z↦1/z的效果!这个映射等价于先对单位圆周做反演, 再继以对实轴做反射（二者均为反共形的）.
复反演z↦1/z是共形的.
偶数个(对直线或圆周的)反射之复合是一共形映射!
而奇数个这种反射之复合则是一反共形映射!
- 对称性的保持
若a,b关于一圆周K对称, 则它们在对任意圆周J的反演之象a~,b~关于J的反演象K~仍对称.
反演映任一对互相正交的圆周为另一对正交圆周.
如果有一个圆周经过反演中心, 则其象是一直线.把直线看成具有无穷大半径的圆周!
四.对球面的反演
设P为空间一点, 离q之距离为ρ, 则s(p)是这样一个点：从q点到它的方向与到p的方向相同, 而离q之距离为R²/ρ.
S为反演圆周K扫出来的反演球面,Π为直线L经过旋转扫出来的平面
在对以q为中心的球面的反演下, 一个不包含q点的平面Π被映成一个包含q点的球面Π~, 其在q点的切平面平行于Π. 反之, 一个包含q点的球面Π~则被映为一平面Π, 而与此球面在q点的切平面平行.
在对球面的反演下, 一个不过反演中心q的圆周C的象是另一个也不经过q的圆周.若C经过q, 则其象是一条与C在q处的切线平行的直线.
对平面的反射是对球面的反演的极限情况.
令K为一平面或球面, a,b是关于K的对称点.在对任一平面或球面的三维反射下, a与b的象仍关于K的象对称.
在对球面K的反演下, 每个正交于K的球面均被映为其自身.
(两个球面“正交”时, 即指它们在两球面交线的那个圆上各点处的切平面都正交)
正交球面反演为正交球面.
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://haidsoft.com/186450.html
