微积分:从行列式到外微分

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

弯曲空间,如何定义微小面积或微小体积?如何加总?

这个问题就在行列式到外微分的演化过程中.

以前学数学，总是一种“静”的思维，公式、符号呆板而不鲜活！

行列式开始了伸缩，矩阵开启了旋转，“i”赋予了“波动”，导数开启了“伸扭”…一切公式都看起来蓄势待发，跃跃欲试。

外微分，就是“饕餮”，张着一张血盆大口，“我饿…我要…我吃吃吃…吐吐吐…”

这个世界动起来，转起来了，进化、循环、再进化…

一.行列式的特点

1. 为解ax+by=e;cx+dy=f

2×2方程系数矩阵

行列式det(A)=ad-bc;det(A)≠0，方程有唯一解。

2. 行列式的几何意义

2.1 有向面积与有向体积

二维有向面积

V1(a,b),v2(c,d),它们张成一个平行四边形。

行列式 det(v1, v2) 计算的就是这个平行四边形的有向面积（即面积加上方向信息，比如顺时针或逆时针）

det(v1,v2,v3)计算三维有向体积…

在 Rⁿ 空间中设 v₁, v₂, …, vn 是 Rⁿ 中的 n 个向量,它们可以组成一个 n×n 矩阵 A。向量构成的矩阵的行列式det(v1, v2,…vn),其n-超体积与单位 n-体积元成比例关系.

3. 行列式的性质

3.1 多重线性性

如果固定其他向量，它们对每个单独变量都是线性的。

矩阵的某一行（或列）乘以标量 k，则行列式也变为原来的 k倍。

如果矩阵的某一行可以表示为两个向量的和，那么它的行列式可以拆分为两个行列式之和。

3.2 反对称性

交换矩阵的两行（或两列），行列式的值变号。

如果两行（或两列）相同，行列式为0。一个方阵 A 的行列式为零，当且仅当其行（或列）向量组是线性相关的。

3.3 归一化

行列式在单位矩阵上的值为 1 (det(I) = 1)即单位立方体的体积元，其值为 1.

4. 行列式局限性

它需要输入固定数量的向量（比如 n 维空间就需要n 个向量）。

它在欧几里得空间（平直空间）中表现良好,但在弯曲的空间中（比如地球表面），却无法表达其上的“微面积”或“微体积”。

二. 代数几何化

1. 向量的加减法可以表示力的合成，位移的叠加。
2. 向量与标量的乘法可以表示向量的伸缩。
3. 向量基的变换可以表示旋转。

但如何表示两个向量”张成”的面积？如何表示三个向量”张成”的体积？

格拉斯曼来了，他引入了楔积（ wedge product），用符号 Λ 表示。

如果二维空间有两个向量 v1 和 v2，它们的楔积为 v1Λv2，该楔积并不是一个数或另一个向量，而是一个新的几何对象，它携带的数值信息正好是由 v1 和 v2 所张成的有向面积元素(面积,方向)。

在三维空间中，如果你有三个向量v1,v2,v3 ，它们楔积v1Λv2Λv3 携带的数值信息是由它们所张成的有向体积元素(面积,方向)。

楔积性质精准抓住了行列式的“核”！

多重线性性

v1Λ(v2+v3)=v1Λv2+v1Λv3

常数c，则有

cv1Λv2=v1Λcv2

反对称性

V1Λv2=-v2Λv1

V1Λv1=-v1Λv1,则

2v1Λv1=0

V1Λv1=0

4. 行列式本质上就是向量的楔积在特定基下的坐标表示。

矩阵 A 可以表示一个从 Rⁿ 到 Rⁿ 的线性变换.

行列式 det(A) 则衡量了这个线性变换对体积的缩放因子。

行列式是唯一一个满足多重线性性和反对称性、且在标准基上值为 1 的函数。

楔积v₁ ∧ … ∧ vn 代表了由向量 {v₁, …, vn}张成的 n 维平行多面体的有向体积。

公式 v₁ ∧ … ∧ vn = det(A) (e₁ ∧ … ∧ en) 完美地捕捉了这一几何事实：变换后的体积元等于变换前的体积元乘以一个缩放因子（即行列式）。

5. 外代数

5.1 标量场（0-形式）

光滑函数 f: M → ℝ。在每一点 p，它简单地输出一个标量，不“吃”任何向量。

几何解释：流形上的标量场，如温度场、电势场。

积分：得到数（在曲线上积分是线积分，在曲面上是面积分，在体上是体积分，但本质都是对0-形式积分）。

5.2 1-形式

“吃一个向量，吐一个标量”的线性机器,如 df, dx, dy, dz。

积分：线积分，测量场沿一条曲线的“做功”或“流量”。

5.3 2-形式

1-形式的楔积结果，例如 α ∧ β。在每一点 p，它是一个反对称的、接收两个向量并返回一个实数的双线性函数：

(α∧β)(v,w)=α(v)β(w)-α(w)β(v)。

几何解释：测量由向量 v 和 w 张成的有向平行四边形的面积（在由 α 和 β 确定的坐标系下）

积分：曲面积分，测量场穿过一个曲面的“通量”。

5.4 3-形式

三个1-形式的外积，例如 α ∧ β ∧ γ,它接收三个向量并返回一个标量，且完全反对称。

几何解释：测量由三个向量 u, v, w 张成的有向平行六面体的体积。

积分：体积分，测量场在一个区域内的“总量”。

5.5 k-形式 和 最高阶形式

在 n 维流形上，最高阶的形式是 n-形式。所有 k > n 的外积结果自动为 0（因为根据反对称性，至少有一个基1-形式会重复出现）

三.外微分的引入

外微分形式的强大之处在于，它们能够携带几何信息（方向、大小、维度），并且它们的定义不依赖于特定的坐标系，这使得它们非常适合描述弯曲空间。

1. 外微分 (Exterior Derivative,d)

一个将 k-形式 映射到 (k+1)-形式 的算子。

作用：测量一个形式场的局部变化。

关键性质：d ∘ d = 0（即两次外微分d²总是零）。

如果一个形式ω 是某个形式 α的外微分（即ω=dα ），称ω 是一个恰当形式 (exact form)。

如果一个形式ω的外微分是零即dω=0,称ω是一个闭形式.

d²=0即dω=d(dα)=0,所有的恰当形式都是闭形式.

2. 从行列式到外微分

行列式,最初作为线性方程组的工具，揭示了”有向体积”的几何意义，并体现了线性性和反对称性。它是一个静态的、局部的测量工具。

庞加莱与埃利·嘉当的外微分：将格拉斯曼的外代数思想与微积分结合，创造了”微分形式”和”外微分算子 “。

微分形式：在每一点上赋予空间一个高维的”测量工具”，它能够在弯曲空间中捕捉局部几何信息。

外微分算子：统一了梯度、旋度、散度等概念，将它们概括为一个普适的”变化率”操作。其核心性质 更是连接了分析与拓扑。

广义斯托克斯定理：

一个微分形式ω 在一个流形M 的边界∂M 上的积分，等于它的外微分 dω在流形M 内部的积分。

这一个简洁的公式，概括了微积分中所有重要的基本定理：牛顿-莱布尼茨基本定理 .

将经典微积分的所有基本定理融为一炉，在任意维度和任意形状流形上的普遍联系即微分与积分、局部与整体、分析与拓扑之间的深刻联系。

3. 微积分基本定理之间维度变换的共性。

假设微分运算d只对函数P和Q有效，并定义运算dx*dx和dy*dy的结果为零，因此d对微分分量dx、dy等无效即d(dx)=0，d(dy)=0,且dy*dx=-dx*dy，微元之间的乘积“*”换用“∧”表示称楔积，这样的一种关于d的运算我们称之为外微分。

请参详上图体会。

微元之间的楔积∧类似向量之间的叉积，交换次序会易号，因此同一微元之间的楔积为零：d²=0。

dxΛdy=-dyΛdx；

dxΛdx=d²=0=dyΛdy=dzΛdz…

四. 外微分从形式上统一不同维度的微积分基本定理。

Pdx+Qdy+Rdz为一阶微分形式。

Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy

为二阶微分形式。

(Px+Qy+Rz)dx∧dy∧dz

为三阶微分形式，而函数F本身则为零阶微分形式。

在三维空间中，零阶的外微分是一阶微分形式，一阶的外微分是二阶微分形式，二阶的外微分是三阶微分形式，但三阶的外微分又会回到零阶，因为我们限制在了三维空间，只有在三维以上时，三阶的外微分才是四阶微分形式。

五.外微分与矢量场微分运算之间就存在着某种对应关系

引入外微分对偶规则，简化运算

特别注意:▽f=df ?

▽f是切矢量算子,▽fp(v)输出一个切矢量;df是余矢量算子,dfp(v)吃矢量v,输出一个标量

外微分 (df)：

类型：它是一个 1-形式（微分1-form），或者叫余切向量场。它“吃”一个向量，“吐”一个标量。

df 本身：一个等待着被“喂食”的机器

几何意义：它代表了函数 f 在任意方向上的变化率。在点 p 上，df|p 是一个线性机器，你喂给它一个向量 v （代表方向），它会吐出一个标量 df|p(v)，这个标量就是函数 f 在 v 方向上的方向导数。

把 df想象成一个有多种测量模式的数字游标卡尺：

dx 是“测量X长度”的模式。

dy是“测量Y长度”的模式。

dz 是“测量Z长度”的模式。

这把卡尺本身（df）不是一个测量结果（标量），而是一个准备好了的测量工具。它根据函数 f 的变化率（偏导数 ∂f/∂x 等）为每种测量模式设置了权重。

拿一个物体（向量 v）来用这把卡尺测量时：

dx 模式量得它的x长度是 vx。

dy 模式量得它的y长度是 vy。

dz 模式量得它的z长度是 vz。

最后，卡尺会根据预设的权重，自动计算出一个加权总和：

这个最终显示的加权总和数字，就是标量输出。

错误理解：df 是一个标量。

正确理解：df 是一个函数（1-形式/余切向量场）。这个函数的值（输出）是一个标量。

机器（函数本身）：

输入：一个向量 v

输出：一个标量 df(v)=∇f⋅v（方向导数）

演示示例1设置

考虑一个简单的函数和向量：

函数：f(x, y) = x² + 2y

点：p = (1, 2)

向量：v = (3, 4)（在点 p 处的切向量）

外微分 df 并”喂食”向量 v

步骤一:首先，计算函数 f 的外微分df

df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = (2x)dx + (2)dy

在点 p = (1, 2) 处：

dfp = (2×1)dx + (2)dy = 2dx + 2dy

步骤二”喂食”向量 v = (3, 4)

将向量 v 输入给 dfp：

dfp(v) = 2·dx(v) + 2·dy(v)

dx 和 dy 是基1-形式，它们的作用是提取向量的分量：

dx(v) = v 的 x 分量 = 3

dy(v) = v 的 y 分量 = 4

dfp(v) = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14

几何解释：这个结果 14 表示函数 f 在点 p = (1, 2) 处沿方向 v = (3, 4) 的方向导数。

梯度 ▽f 与向量 v 作用

步骤 1: 计算梯度 ▽f

▽f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2)

在点 p = (1, 2) 处：

▽fp = (2×1, 2) = (2, 2)

步骤 2: 与向量 v = (3, 4) 做点积

▽fp · v = (2, 2) · (3, 4) = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14

演示示例2设置

函数：f(x, y) = x² + 2y

其外微分（1-形式场）：

df = 2x dx + 2 dy

向量场：V = y ∂ₓ + x ∂ᵧ

df “吃” 向量场 V

df(V) = (2x dx + 2 dy)(y ∂ₓ + x ∂ᵧ)

df(V) = 2x * dx(V) + 2 * dy(V)
= 2x * dx(y ∂ₓ + x ∂ᵧ) + 2 * dy(y ∂ₓ + x ∂ᵧ)
= 2x * [y * dx(∂ₓ) + x * dx(∂ᵧ)] + 2 * [y * dy(∂ₓ) + x * dy(∂ᵧ)]
= 2x * [y * 1 + x * 0] + 2 * [y * 0 + x * 1]
= 2x * y + 2 * x
= 2xy + 2x=2x(y+1)

f 沿 V 的方向导数场

梯度算符作用于一个向量场

▽f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2)

▽f · V = (2x, 2) · (y, x) = 2x*y + 2*x = 2x(y + 1)

df(V)=▽f · V

df≠▽f

关键区别:

dfp 是一个 1-形式（线性泛函），它接收一个向量并返回一个标量

▽fp 是一个 向量，它与另一个向量的点积返回一个标量

在标准欧几里得空间中，dfp(v) = ▽fp · v

在向量场中,∂ₓ 和 ∂ᵧ,dx和dy,是一对对偶基,切向量基和余切向量基,彼此正交!（如dx.∂/∂ₓ=1）

在外微分中, “df吃进一个向量函数（向量场）”是一个高度非平凡且非常重要的操作

dx(∂ₓ) = 1, dx(∂ᵧ) = 0 (因为 dx 提取 ∂ₓ 的系数)

dy(∂ₓ) = 0, dy(∂ᵧ) = 1

df,dx,dy,dz都是饥饿的机器,等待投喂,提取养分!

外微分、变化率、向量场有机结合在一起。

六.外微分几何意义

二元函数的外微分就描述了其在二维空间的局部变化细节，三元函数的外微分就描述了其在三维空间的局部变化细节。

矢量场有疏密聚散，有曲折旋转，三维空间中的矢量场有两种微分形式，一阶微分形式的外微分就描述了矢量场在空间中曲折旋转的局部细节，二阶微分形式的外微分则描述了矢量场在空间中疏密聚散的局部细节。

外微分d运算就是把一个区域做无限剖分，得到其局部区域内的结果；小的封闭面（体）内部之间是相互重叠的，但方向是相反的，因此在累加的时候相互抵消，最终只剩下外部边界的线（面），然后整体求和的过程。这个过程和函数的微分运算如出一辙。

一个函数在一个区间两端的差值是和其在该区间内的局部变化是息息相关的，而每个局部变化都可以用微分的形式来刻画，最后，函数在区间两端的差值就变成该函数在该区间内的微分形式的积分：

外微分的几何表示

X,y方向上的变化

全微分dx，dy是x，y方向上的基;外微分dx，dy则为算子,提取输入对象的分量!

如果我们想要知道某个方向的变化，比如一条有向曲线L：g(x,y)上的变化，我们只要将g全微分分解到该方向就行了.

如果一个一阶微分形式不能表示成某个函数的全微分

ω=0当作一堆曲线簇，这时的线簇不再等同于df=0时的线簇，因为d(df)=0总是成立，但dω=0并不总是成立。dω≠0，则有疏密厚薄，内部细分之小体累加并不能完全抵消。不仅需要考虑线簇在分布上的疏密，还要考虑其局部的粗细，最终决定曲线积分大小的是路径所穿越的线簇厚度的总和。

全微分df来说，线簇在某处的疏密程度直观地反映了该处矢量场（即梯度）模的大小，但对于一般的一阶微分形式ω来说，线簇的疏密程度并不反映相应的矢量场模的大小。

为了直观反映外微分特征：将线簇分割成一片片的小线段，在需要密的地方多摆放一些，而在需要疏的地方少摆放一些。这样一来，曲线积分就仍能从路径穿越的线簇数上直观地反映出来。