【数学】导数（Derivative）的定义、洛必达法则「终于解决」

老牧童 • 2023-07-22 17:00 • 未分类

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本节我们来阐述导数的定义

当有函数 y=f(x) 时，在其一点 p(x,y) ，我们定义当增加 $\Delta x$ 时，y的变化量(注意不一定是增加，也可能是减少）是 $\Delta y$ 则我们定义：

${y}'={f(x)}'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 为 y=f(x) 在x方向上，y的导数。

当 $\Delta x\to0$ 时，图中的蓝线会逼近红线，对于几何意义来说，导数的值也即是当前点的斜率，斜率大小不一决定了 $\Delta x \to 0$ 时向y值在( $x+\Delta x$ )处向(x)处的收敛速度。

物理意义来说导数代表瞬时变化率。

举例来求常见函数的导数：

${sinx}'=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{sin(x+\Delta x)-sinx}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{sinxcos\Delta x+cosxsin\Delta x-sinx}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{sinx(cos\Delta x-1)+cosxsin\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{cosxsin\Delta x}{\Delta x}=cosx$

其中用到重要极限： $\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{sinx}{x} =1$ ，其证明过程可以参考：【数学】极限-夹逼定理，重要极限sinx/x的证明

还用到一个无穷小 $\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{cos\Delta x-1}{\Delta x}=0$ 使用洛必达法则，洛必达法则为当遇到 $\tfrac{0}{0} \tfrac{\infty }{\infty}$ 这两种求极值形式时，要考虑它们的收敛速度，也即对其进行求导。由此洛必达法则定义：

$\lim_{x \to 0} \tfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 0} \tfrac{f(x)'}{g(x)'}=A$ ，若A值存在，则可以使用洛必达法则来求该极限，值为A。现在只需要对 $\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{cos\Delta x-1}{\Delta x}$ 分子分母同时对 $\Delta x$ 求导数，就易得 $\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{cos\Delta x-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{sin\Delta x}{1}=0$ 其值为0。

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