第十二章 动量定理和动量矩定理

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第十二章 动量定理和动量矩定理

本章研究的两个定理

动量定理——力系主矢量的运动效应反映；

动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。

1. 质点系质量的几何性质
   1. 
      质心

   质点系的质量中心，其位置有下式确定：

   

   其投影式为

   , ,

   1. 刚体对轴的转动惯量

   定义：为刚体对轴的转动惯量或

   

   影响的因素单位：

   物理意义：描述刚体绕轴时惯性大小的度量。

   的计算方法：

   1. 积分法

   例12.1已知：设均质细长杆为，质量为。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴的转动惯量。

   

   解：建立如图12.2所示坐标，取微段其质量为，则此杆对轴的转动惯量为：

   例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为，质量为，求其对于垂直于圆环平面且过中心的轴的转动惯量。

   

   解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径，所以圆环对于中心轴的转动惯量为：

   

   例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为，质量为，求对于垂直于板面且过中心的轴的转动惯量。

   

   解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为，宽度为，质量为，由上题知，此圆环对轴的转动惯量为，于是，整个圆板对于轴的转动惯量为：

           

   1. 回转半径（惯性半径）

   设刚体对轴的转动惯量为，质量为，则由式定义的长度，称为刚体对轴的回转半径。

   例如：均质杆（图12.2）

   均质圆环（图12.3）

   均质薄圆板（图12.4）

    

    若已知刚体对轴的回转半径，则刚体对轴的转动惯量为：

1. 转动惯量的平行轴定理

在图12.5中，，轴间距离为，刚体质量为，其中轴过质心，则有

例如：在图12.2中，细长杆对轴的转动惯量为

1. 组合体

例12.4 已知：钟摆可简化为如图12.6所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为和，杆长为，圆盘直径为，求钟摆对通过悬挂点的水平轴的转动惯量。

解：钟摆对水平轴的转动惯量为：

其中：

所以

1. 动量定理
   1. 动量的概念与计算

      质点的动量为

      质点系的动量系为

      

      质点系的动量（动量系的主矢量）为

      将质心公式对时间求一阶导数，有即

   于是

   1. 动量定理

      1）质点的动量定理

      设质点质量为，速度为，作用力为，由牛顿第二定律，有

      变换为

   ——质点的动量定理的微分形式 （为元冲量）

   将上式对时间积分有

   冲量 ——质点的动量定理的积分形式

   2）质点系的动量定理

   设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，所受外力为，内力为（图12.7）

   （1）由牛顿第二定律

   将上式由到求和，有

           

       ，

   （Ⅰ)

   由 ,

   质心运动定理： （Ⅱ）

   质心运动定理反映了质心的重要力学特征：质点系的质心的运动只取决于质点系的外力，内力改变不了质心的运动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意义。

   在求解刚体系统动力学问题时，为了应用方便，常将上式改写为

   （Ⅲ）

   式中 、分别是刚体系统中第个刚体的质量和质心加速度。是由质心公式对时间求二阶导数后得到的，即

   1. 积分形式

      由式（Ⅰ）可得到积分形式

   2. 动量守恒（质心守恒）

   若 则常矢量 或常矢量

   若 则常量 或常量

   若则常量 （质心守恒）

   实例分析

   实例1利用质心运动定理解释定向爆破

   

   实例2利用质心运动定理分析汽车的起动与刹车

   

   例12.5已知：如图12.11所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为，质心位于转子转轴的中心；转子质量为，

   由于制造或安装是的偏差，转子质心不在转轴中心上，偏心距。转子以等角速度转动，试求电动机机座的约束力。

   

   解：

   1. 研究对象：电动机整体
   2. 分析受力（如图示）

   

   1. 分析运动：定子不动；转子作匀速圆周运动，其法线加速度
   2. 列动力学方程求解：

      

      

   由此解出：

               

   1. 讨论
      1. 机座的约束力由两部分组成，一部分由重力（主动力）引起的，称为静约束力（静反力），另一部分是由于转子质心运动状态变化引起的，称为附加动约束力。
      2. 附加动约束力有最大值或最小值：

         时，

         时，

时，

时，

1. 附加动约束力与成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的几倍，甚至几十倍，而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础的振动，还会引起有关构件内的交变应力。
2. 利用动量定理能否求约束力偶矩？

本例也可以选用质心运动定理求解。

在图12.10中，因为定子不动，故是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公式：

将上两式对时间求二阶导数，可得：

由质心运动定理：

可得

例12.6 在上例中（例12.5），若电动机机座与基础之间无螺栓固定，且为光滑接触（图12.12），初始时电动机静止。求转子以等角速度转动时电机外壳的运动，并分析电机跳起的条件。

解：1）求电机外壳的运动

研究电机整体 由图示受力分析知 又因为故常量

时，由图12.11

时，由图12.11

因为 解得：

说明电机沿水平方向作简谐振动，振幅为

2） 电机未跳起时，仍可用上例所求结果，即

令，求的电机的角速度为：

讨论：当，即时，转子质心在最高处，可求得使电机跳起的最小角速度为：

例12.7已知：如图12.13表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流体，而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。

解：1）研究对象：取管中截面和截面之间的流体为研究的质点系

    2）受力分析：如图所示

    设流体密度为，流量为，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时，是常量）在时间内，流过截面的质量为，其动量改变量为

即

由

得

令

其中为管子对流体的静约束力，由下式确定

则有

为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）

三 动量矩的概念及其计算

1. 质点的动量矩

设质点的质量为，某瞬时的速度为，到点的矢径为（图12.15）

质点对点的动量矩为

质点对轴的动量矩为

质点对点和轴（该轴通过点）的动量矩关系为

1. 质点系的动量矩

设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，到点的矢径为，则质点系对点的动量矩（动量系对点的主矩）为：

质点对轴的动量矩为

动量矩的解析式为

刚体动量矩的计算

1. 刚体平动（图12.17）

1. 定轴转动刚体对转轴的动量矩（图12.18）

3）平面运动刚体对其平面内一点的动量矩（图12.19）

例12.8已知：质量为，的两物块分别系在两柔软不可伸长的绳子上，图12.20所示，此两绳分别绕在半径为和并固结在一起的鼓轮上，设鼓轮的质量为，对转轴的回转半径为，并以转动。求系统对鼓轮转轴的动量矩。

解：

1. 分析运动：
2. 计算

例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。

解：

1. 分析运动：规尺作平面运动
2. 计算

物块速度均通过转轴 ，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为

1. 
   心为定点的动量矩定理

引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度

1. 质点对固定点的动量矩定理图12.22

牛顿第二定律：

上式两边左叉矢径

左边

是固定点时，于是有

——质点对固定点的动量矩定理

1. 质点系对固定点的动量矩定理

设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，对固定点的矢径为，作用在该质点上的外力为，内力为。

第个质点对固定点的动量矩定理为

将上式从到求和

由图12.23知

右边

左边

可得 质点系对固定点的动量矩定理

1. 动量矩守恒

若，常矢量

若 则常量

例12.10分析受有心力作用的物体的运动

解：如图12.24所示，因为

故常矢量，可见质点在有心力作用下运动的轨迹是平面曲线。

例12.11 如图12.25所示，在调速器中，除小球外，各杆重量可不计，忽略摩擦，系统绕轴自由转动。初始时，系统的角速度为，当细绳拉断时。求各杆与铅直线成角时系统的角速度。

解：研究整体：因重力和轴承力对于转轴的矩为零，即 故常量

时

时

由 得

例12.12已知：不可伸长的绳子绕过不计质量的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块重量相等的人，从静止开始沿绳子上爬，设其相对绳子的速度为，试问：物是否动？并分析绳子的速度。

解：研究整体系统：因为，故常量

设轮顺时针转，绳子的速度为

则

由 即

得

物上升的速度为

人向上的速度为

人、物向上的绝对速度大小相等，方向相同，人物同时到达顶端。

五．刚体定轴转动微分方程

设刚体在主动力系作用下，绕固定轴转动（图12.27），设刚体对轴的转动惯量为，瞬时的角速度为，刚体对转轴的动量矩为，由质点系对固定轴的动量矩定理

可得

刚体的定轴转动微分方程

例12.13 已知复摆由绕水平轴转动的刚体构成，已知复摆的重量为，重心到转轴的距离为，如图12.28所示，设复摆对转轴的转动惯量为。求复摆微摆动的周期。

解：

1. 研究对象：复摆
2. 分析受力：如图12.28所示
3. 分析运动：复摆作定轴转动，用表示其转角
4. 列动力学方程，求解：

由题意，复摆微摆动时，于是有

这是简谐运动的标准微分方程，此方程的解为：

式中称为角振幅，为初相位他们由初始条件确定

摆动周期为

1. 讨论
   1. 若测出周期T，可求出刚体对转轴的转动惯量

   

   1. 如果要求轴承O的约束力

   

   求，积分求

   求轴承的约束力

刚体定轴转动微分方程组

例12.14 已知：电动机将不变转矩M加在轴上（图12.29）轴通过节圆半径为的外啮合齿轮传动给轴Ⅱ。轴Ⅱ与提升重物的鼓轮固结为一体，鼓轮半径为R，轴Ⅰ连同其上零件对轴的转动惯量为，轴Ⅱ连同其上零件对轴的转动惯量为，且各自重心分别在转轴上。重物的质量为，不计摩擦。求：重物A的加速度。

解：

1. 研究轴Ⅰ（图12.29）

（1）

1. 研究轴物（图12.29）

（2）

1. 运动学关系

（3）

（4）

由方程（1）、（2）、（3）、(4)，解得：

1. 矩心为质心的动量矩定理

1. 质点系对于定点”O”和质心”C”的动量矩之间的关系

如图12.30所示，O为定点，C为质点系的质心，质点系对于定点O的动量矩为

对于任一质点，由图可见

于是

式中, 质点系对于质心的绝对动量矩

图12.30中为随质心平动的参考系，设点相对该坐标系的速度为，有

式中质点系对于质心的相对动量矩

有

代入式，有

1. 质点系相对于质心的动量矩定理

质点系相对于固定点的动量矩定理

左边

右边

由于

所以

矩心为质心的动量矩定理

若

则 常矢量 矩心为质心的动量矩守恒

试分析跳水运动的腾空动作（图12.31）

刚体的平面运动微分方程

设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为

刚体平面运动岁质心平动相对质心转动

随质心平动

相对质心转动

刚体平面运动微分方程：

例12.15 已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。

解：

1. 研究对象：轮
2. 分析受力：如图12.33所示
3. 分析运动：轮作平面运动，轮心沿斜面作直线运动
4. 列动力学方程求解：

轮纯滚动

联立解得：

纯滚动的条件：

1. 讨论：若，由式 得，常量 轮平动

若，则轮沿斜面打滑，此时

由方程 可求得

例12.16 已知：均质细杆质量，长度，端用两条细绳悬挂，三者个夹角，如图12.34所示。求：剪断绳时，杆的角加速度及绳的拉力。

解：

1. 研究对象：杆
2. 分析受力：如图12.34所示
3. 分析运动：剪断绳时，杆作平面运动。质心作平面曲线，轨迹未知。
4. 列动力学方程，求解：

以上三个式中有个未知量，补充一个运动学关系

以上四式联立，解得：

代入数据，得：

例12.17 已知：质量为半径为的均质圆轮，可以在半径为的圆弧轨道中作纯滚动（如图12.34所示），时圆轮由静止释放。求：（1）接触处的摩擦力和正压力

（2）微运动的周期与运动规律

解：

1．研究对象：圆轮

2．分析受力：如图12.35所示

3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动

4．列动力学方程，求解：

1. 求
2. 微运动时

由式 令

解得

所以

周期