1 函数

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函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则。起始对象称为输入，来自称为定义域的集合。返回对象称为输出，来自成为上域的集合。

简而言之，量与量之间的关系。 y = f(x) x是自变量，y是因变量。

函数要点：

1. 两个函数可以有相同的转化规则，但具有不同的值域，则两个函数不相同。
2. 如果在定义域内没有定义，则函数将拒绝非定义域（定义域之外）内的函数输入，输出转化。
3. 一个函数必须给每个有效的输入指定唯一输出。
4. 函数的符号只是一种表示，以下表示均可且含义相同。

上域与值域的区别：值域实际是上域的子集。上域是可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合。

1.1 区间表示法

闭区间：[x, y]

开区间：(x, y)

半开半闭区间：(x, y] 、[x, y)

1.2 定义域

函数定义中包括定义域。而在大多数情况下，定义域并未给出，通常，定义域包括实数尽可能多的部分。

常见的定义域规则：

1. 分数的分母不能是零。
2. 不能取一个负数的平方根（或四次根、六次根等）。
3. 不能去一个负数或零的对数。

1.3 利用图像求值域

图像法求值域的核心思想：画出函数图像，想象从图像左边、右边朝y轴水平射入水平直线（模拟光）。函数图像会在y轴上投身两个影子，一个在y轴左侧，另一个在y轴右侧。值域就是投影的并集；即，如果y轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里，那么它处于函数的值域中。

水平检验示意图

1.4 垂线检验

检验函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出。

体现在函数上，就是函数的图像上，不可能有两个点有相同的x坐标；即在图像上，没有两个点会落在相对于x轴的同一条垂线上。

垂线检验的核心思想：查看某一函数图像是否任何垂线和图像相交多于一次。如果多于一次，它就不是函数图像；反之如果没有一条垂线和图像相交多于一次，那么它是函数的图像。

如下圆方程的图像就不是函数图像。

垂线检验示意图

由于过x轴的垂线中，有多条都与图像有1个以上交点，因此该图像不是函数图像。

如下图所示，由于每一条x轴上的垂线与函数图像的交点都在1个之内。

垂线检验通过实例图

反函数

函数：给定一个函数f，在f的值域中选择y。在理想状况下，仅有一个x满足f(x)=y。

反函数：对于f(x) = y，值域中的每个y都成立。将其逆转，从输出y出发，新函数有且仅有一个输出x满足f(x) = y，则新函数是函数f的反函数。记作：

1.从一个函数f出发，使得对弈在f值域中的任意y，都只有唯一的x值满足f(x)=y。也就是说，不同的输入对应不同的输出。我们就来定义反函数：

2.1 水平线检验

水平线检验的思想：如果每一条水平线和一个函数图像相交至多一次，那么这个函数就有反函数。如下图所示，①水平线至多有一次相交，因此有反函数；②水平线有超过一次相交，因此没有反函数。

反函数是否存在的检验

2.2 求反函数

如图所示，函数f与其反函数相对于y=x轴对称。

反函数与原函数的镜像关系

2.3 限制定义

限制函数定义域，可以是没有反函数的函数具有反函数。

如下图抛物线函数，如果在x全定义域内没有反函数。不过如果将x定义域缩小为[0,+∞)则其在此值域有反函数。

限制定义域使函数具备反函数

反函数为：

求反函数

如果不限制定义域，让x在(-∞, +∞)之间，则无法通过垂线检验。如下图所示。

不限制值域，垂直检测不通过

2.4 反函数的反函数

如果一个函数f的定义域可以被限制，使得f有反函数，那么：

1）对于f的值域中所有y，都有：

2）

3）【注意】

复合函数

f(x) = h(g(x))

记作f = h ○ g，表示f是g与h的复合。f是h和g的复合函数。

线性函数的图像

形如 f(x) = mx + b的函数叫做线性函数。因为他们的图像是直线。直线的斜率是m。图像在y轴的截距是b。

• •
• 情况1：b=0，这时函数变为y = mx。直线过原点，x轴和y轴的截距都为0。
• •
• 情况2：当m=0，这时函数变为y = b，是一条过(0,b)的水平直线。

已知一个函数通过某一固定的点和它的斜率，那么就能找到它的方程。这种公式叫点斜式直线方程。其表达如下：

如果已知直线通过点（x0,y0），斜率为m，则它的方程为y-y0 = m(x – x0)。

已知一个函数经过两点，可以通过两点先求出它的斜率，再用点斜式方程计算方法求出截距。

常见函数及其图像

5.1 多项式

多项式的数学通式：

最大的幂指数n（该项系数不能为0）记作多项式的次数。次数决定函数是偶函数还是奇函数，换句话说，决定了多项式是轴对称还是中心对称。

多项式图像

最高次数的项的系数记作首项系数。其正负决定函数的开口朝向。

多项式的开口规则

5.2 分段函数

x取不同值时，得到的映射关系也不同。

显函数与隐函数

显函数：当解析式中明显地用一个变量的代数式来表示另一个变量时，这个解析式就是显函数。

隐函数：隐函数通常无法直接用一个变量的代数式来表示另一个变量，需要通过解方程才能得到因变量的值。但需要注意的是，并非所有的隐函数都能转化为显函数形式。需要注意定义域、值域。

函数特性

7.1 奇偶性

• 偶函数：对于f定义域内的所有x，有f(-x) = f(x)，则f是偶函数。偶函数的图像关于y轴具有镜面对称性。
• 奇函数：对于f定义域内的所有x，有f(-x) = -f(x)，则f是奇函数。奇函数的图像关于原点有180°的点对称性。

7.2 周期性

若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期。主要要研究三角函数，而三角函数会在后续的文章中专门讨论。

7.3 单调性

如果函数y=F（x）在某个区间是增函数或减函数，就称函数F（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=F（x）的单调区间，在单调区间上增函数的函数图像是上升的，减函数的函数图像是下降的。

【注意】所谓的单调函数是指， 对于整个定义域而言，函数具有单调性。而不是针对定义域的子区间而言。

函数的连续性

8.1 连续性定义

设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋近于零时，相应函数的变量△y也趋近于零，则称y=f(x)在点x0处连续。

连续的定义

函数f(x)在店处连续，需要满足的条件：

1. 函数在该点处有定义；
2. .函数在该点处极限存在；
3. 极限值等于函数值极限值等于函数值。

例：

解：

8.2 函数间断点

函数的间断点：函数f(x)在点x=x0处不连续，则成其为函数的间断点。

3种情况为间断点：

1. 函数f(x)在点处没有定义；
2. 极限不存在；
3. 满足前两点，但。

8.3 间断点分类

当x → x0时，f(x)的左右极限存在，则称x0为f(x)的第一类间断点，否则为第二类间断点。

跳跃间断点

可去间断点

例：

解：

在点x=2，x=1处没有定义，因为分母，在x=2，x=1时分母为0，

x=2，是第二类间断点，极限不存在。

其中：

为负；