高中数学-详细讲解如何求解复合函数增减性

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1. 我是李老师，今天来讲复合函数的单调性的求法。先看这个题，求复合函数的单调性函数。我常说一句话，定义域是函数的灵魂或心脏，因为它特别重要，没有定义域函数就不完整。所以看到函数后第一步要先想定义域是多少，是否是全体实数。此题先不说做不做，先求定义域。

2. 第一个易错点是定义域。千万不能忘求定义域，否则此题没分。怎么求？对数的真数部分要大于零，即二减 x 减 x 平方必须大于零，不能等只能大于零。然后两边同乘负一，变成 x 平方加 x 减 2 要小于零，十字相乘写成(x 减 2)(x 加 1)小于零，所以 x 要大于负 2 小于 1。一定要先求出定义域，不管会不会做。

3. 第二个知识是增减性，有个口诀叫同增异减。什么意思？就是内外相同，如同正、内外同增或同减合起来是增；若内外一增一减或一减一增合起来是减。然后看这个题，题是 log 二分之一，二减 x 减 x 平方，写成 y 等于 log 二分之一为底，二减 x 减 x 平方，分内外层，内层是 t 等于负 x 平方减 x 加 2，且 x 大于负 2 小于 1，外层是 y 等于 log 以二分之一为底 t 的对数。首先观察外层，很明显此处大于零小于一，肯定是恒递减。主要看内层，内层是二次函数开口朝下，对称轴是负二 a 分之 b，负的 a 是负 1，b 也是负 1 等于负二分之一，对应轴是负二分之一，负 2 到 1 这段。所以负 2 到负二分之一是递增，负二分之一到一是递减。现在看同增异减，负二到负二分之一内外层合起来是递减，负二分之一到一合起来是递增。这就是复合函数的增减性。

4. 所以此题求递增区间是负二分之一到 1，选 D。这题重点知识：一是遇到函数一定要先求定义域，它是心脏和灵魂，很重要；二是同增异减，写成内层和外层，分别求增减性再合成。

这就是今天要讲的复合函数的增减性，今天就说到这。