实数家族最神秘的成员：超越数

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代数数是可数集。

上篇文章说到自然数和有理数一样多，和代数数也一样多。什么是代数数呢，就是能作为有理系数多项式方程的根的数，可以简单理解为所有有理数+部分无理数，即带根号的数，当然根号下边是有限的数，你非要整个√π，那肯定不行。

数的扩展

神秘的超越数

既然代数数集合是可数集合，那么为何实数集是不可数集呢。我们从初中就知道实数可以用数轴，也就是一条直线表示，而直线上的点是不可数的。这就要说到今天的主角儿了：超越数。超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数。因为欧拉的一句话：“它们超越代数方法所及的范围之外。”而得名。与之相对应的是代数数。法国数学家刘维尔首先证明了超越数的存在性，并构造出了一个超越数。

刘维尔数

超越数是不可数集

实数可以作如下分类：实数分为实代数数、实超越数。代数数分为有理数和无理数，超越数都是无理数。所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数为无穷数集。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数是十分困难的。在研究超越数的过程中，大卫·希尔伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代数数，b是无理代数数，则a^b是超越数。这个猜想已被证明，于是可以断定e、π是超越数。e 与 π 为超越数的证明过程非常复杂，需要用到高等数学知识。

e是超越数部分证明过程

超出实数的超越数

在实数中，除了代数数外，其余的都是超越数，但是超越数不一定是实数，比如著名的欧拉公式中的πi就是一个虚超越数。

欧拉公式

我们接触过的超越数

只要你上过高中，就会接触到过超越数。形如ln2,sin1等，其中会有大量超越数。高中时你一定接触过这样的方程2^x=x^3。它们就是超越方程，左端函数ƒ(x)不是x的多项式，而是诸如如指数函数、对数函数、三角函数等。这类方程的解除了极少数特殊情况外，应该都是超越数。