简述线性方程组

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本文希望以尽可能直观形象的视角简单阐述一下究竟什么是线性方程组，以及与之相关的一些概念和性质，并举例说明一下如何求解一个线性方程组。

一、向量组的秩

只有先说清楚什么是秩，及其相关概念，才好解释线性方程组究竟要表达的是什么。

（一）基本定义

1. 线性表示。设有$m$个向量分别是${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots {\mathbf{a}}_m$，若这$m$个向量的一种线性组合等于另一个向量$\mathbf{b}$，即存在一组系数$k$，使得$k_1{\mathbf{a}}_1+k_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +k_m{\mathbf{a}}_m=\mathbf{b}$成立，则称向量$\mathbf{b}$可由向量组${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots {\mathbf{a}}_m$线性表示。
2. 线性相关。设有$m$个向量分别是${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots {\mathbf{a}}_m$，若其中每个向量都可由其他向量线性表示，即存在一组不全为0的系数$k$，使得$k_1{\mathbf{a}}_1+k_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +k_m{\mathbf{a}}_m=0$成立，则称这$m$个向量线性相关。反之，若该向量组中每个向量都无法由其他向量线性表示，则称这$m$个向量线性无关。
3. 极大无关组。在一个向量组中，取出$r$个向量，如果这$r$个向量线性无关，而该向量组中其余向量又都可由这$r$个向量线性表示，则称这$r$个向量为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
4. 秩。在一个向量组$\mathbf{A}$中，任意一个极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记为$R(\mathbf{A})$。
5. 基。当将上述向量组扩展到整个向量空间时，此时的极大无关组称为该向量空间的一个基（也可理解成坐标系）。
6. 正交基。如果两向量之间非但线性无关，而且内积还为0（即彼此在对方所在直线上都没有投影），则称这两个向量正交（即垂直）。一组基向量如果彼此都互相正交，则称这个基为正交基。
7. 标准正交基。如果一个正交基中的所有基向量的模长都为1，则称这个正交基为标准正交基。

一个向量组的秩就是由该向量组所张成空间的维度，也就是该空间基的向量个数。如在3维空间中的一堆同在一个平面上的向量，它们的秩却是2。如下图所示：

（二）秩的性质

1. 由$n$维向量（即向量中的元素个数是$n$）构成的向量组的秩一定小于等于$n$。
   因为无论多少$n$维向量也无法线性表示一个维度大于$n$的向量。
   
2. 一个线性相关向量组外的任一同维向量$\mathbf{B}$，被此线性相关向量组表示的方式都有无穷多。
   因为一个向量组如果线性相关，说明其中至少可以选出两个向量形成一个任意非0线性组合（即一个新向量）来替代这两个向量，得到的新向量组依然可以线性表示$\mathbf{B}$。
   
3. 极大无关组外的任一同维向量被此极大无关组线性表示的方式是唯一的。
4. 矩阵的行向量组与其列向量组的秩相同。
5. 矩阵做初等行/列变换后秩不变。
6. 一个$n$阶方阵可逆的充要条件是该方阵满秩，即秩为$n$。
   因为一个$n$阶方阵可以看做是对$n$维直角坐标系做线性变换（即变换后的空间网格线仍保持平行且等距）后的基，如果这个基还能再线性变换回去(即存在逆阵)，则说明新基张成空间并没有降维，还是$n$维空间，即新基的秩是$n$。这就好比可以通过线性变换把一个平面变成一条直线，但无法通过线性变换把一条直线变成一个平面。
   

（三）秩的求法

基于上述性质，求一个向量组的秩，只需将由此向量组构成的矩阵做初等行变换，化成一个梯形阵，其非0行个数就是该矩阵的秩，也是该向量组的秩。

二、线性方程组

线性方程组的本质是一组向量对另一个向量的线性表示。如果把这一组向量视为一个基，那么求解一个线性方程组，就是找出被表示向量在这组基上的坐标。

（一）基本概念

$n$元线性方程组的一般形式为$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}$。其中，
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]，\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]，\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$

1. $\mathbf{A}$称为该方程组的系数矩阵。
2. $\tilde{\mathbf{A}}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\end{array}\right]$称为该方程组的增广矩阵。
3. 当$\mathbf{B}=0$，该方程组称为齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。

（二）解的数量

1. 当$R(\mathbf{A})<R(\tilde{\mathbf{A}})$时，说明$\mathbf{B}$向量超出了系数向量组$\mathbf{A}$所在空间，则无法由系数向量组$\mathbf{A}$线性表示，即方程组无解。
2. 当$R(\mathbf{A})=R(\tilde{\mathbf{A}})<n$时，一方面说明$\mathbf{B}$向量与系数向量组$\mathbf{A}$同处于$n$维空间中由$\mathbf{A}$张成的子空间，另一方面说明系数向量组本身线性相关，因此对向量$\mathbf{B}$的线性表示方式必然有无穷多种，即方程组有无穷解。
3. 当$R(\mathbf{A})=R(\tilde{\mathbf{A}})=n$时，说明$\mathbf{B}$向量与系数向量组$\mathbf{A}$同处于$n$维空间中，且系数向量组本身线性无关，因此对向量$\mathbf{B}$的线性表示方式有且只有一种，即方程组有唯一解。

三、齐次线性方程组求解

所谓齐次线性方程组，其实是用系数向量组来线性表示一个0向量。如果要有非零解，说明系数向量组$\mathbf{A}$必然是线性相关的，即$\mathbf{A}$不是极大无关组，即$R(\mathbf{A})<n$，此情况下向量组$\mathbf{A}$对0向量的表示必然有无穷多种，即方程组有无穷多解。

但也不是任意$n$维向量都是该方程组的解（除非系数向量组的秩是0），只有在系数向量组$\mathbf{A}$张成的空间里投影是0的向量才是该方程组的解。该方程组的这些无穷多解在$n$维空间中构成了一个子空间$\mathbf{S}$，称为该方程组的解空间。我们所要做的就是把这个解空间表示出来，而要表示一个线性空间，只需要找到此空间的一个基即可，该空间中的任意向量都可以用这组基向量来线性表示，这个基就称为该线齐次方程组的基础解系。可以想象，系数向量组$\mathbf{A}$张成的空间每增加1维，则解空间$\mathbf{S}$的维度就降一维，比如三维空间中，在一条线上投影为0的所有向量构成了一个面；而在一个面上投影为0的所有向量构成了一条线，说明$R(\mathbf{S})=n-R(\mathbf{A})$。

四、非齐次线性方程组求解

（一）有无穷解时

其通解为导出组（即令$\mathbf{B}=0$后得到的齐次方程组）的通解加上该非齐次方程组的任一特解。

（二）有唯一解时

除通过克拉默法则（详解《简述行列式》）求解外，由于此时系数矩阵$\mathbf{A}$满秩，即说明存在其逆矩阵。因此由$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}$可知$\mathbf{X}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}$。而如果通过一系列初等行变换可化$\mathbf{A}$为单位阵$\mathbf{I}$，则这一系列初等行变换就相当于对$\mathbf{A}$左乘其逆阵（详见《简述矩阵运算》）。同理，将这一些列初等行变换同样作用于$\mathbf{B}$，则也相当于对$\mathbf{B}$左乘${\mathbf{A}}^{-1}$。因此对增广阵做一系列初等行变换化$\mathbf{A}$为$\mathbf{I}$后，此时$\mathbf{B}$的位置就变成了方程的解向量。