什么是卡方检验？

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卡方检验

卡方检验（Chi-squared test，也写作χ² test）是一种统计学中的假设检验方法，主要用于判断观测数据与理论预期之间是否存在显著差异，进而分析两个分类变量之间是否独立或相关。它是非参数检验中的一种，适用于离散数据，尤其是计数数据。

卡方检验可以放到机器学习中 进行特征选择 看影响力度 大的则取

卡方检验的基本原理是通过计算一个称为卡方统计量（χ²）的值，来衡量实际观测频数与根据某种理论模型（如独立性假设下预期的频数分布）计算得到的理论频数之间的偏离程度。
如果这个偏离程度很大，即卡方统计量的值相对于一定的自由度和显著性水平来说很大，那么就有理由拒绝原假设，认为观测数据与理论预期不符，两个分类变量之间可能不存在关联。

卡方检验有多种类型，包括但不限于：

• 皮尔森卡方检验（Pearson’s chi-squared test），用于检验观察频数与期望频数之间的偏离，常用于检验两个分类变量的独立性。
• 卡方适合性检验（Goodness-of-fit test），用来判断某个样本的分布是否符合特定的理论分布。
• 多个率或构成比的比较（如列联表分析），用于分析多个分类变量之间的关系。

进行卡方检验时，需要满足一定的前提条件，比如期望频数不能过小。此外，卡方检验的结果需基于一定的显著性水平（如0.05或0.01）来解释，且自由度的计算也很重要，因为它决定了卡方分布的形状，从而影响到临界值的确定。

卡方检验的分析过程

1. 确定问题和假设

• 零假设（H₀）：两个分类变量（例如性别和对某政策的态度）是相互独立的，即一个变量的类别不会影响另一个变量的分布。
• 备择假设（H₁）：两个分类变量不是完全独立的，存在某种关联。

2. 收集和整理数据

• 将数据整理成列联表（交叉表），其中行表示一个分类变量的类别，列表示另一个分类变量的类别，单元格内的数值为该行该列类别的观测频数。

3. 计算期望频数

• 对于列联表中的每个单元格，根据行总和、列总和以及总样本量，计算在零假设成立时（即两变量独立）该单元格应有的期望频数。

$$E_{ij}=\frac{(行总{和}_i\times 列总{和}_j)}{总样本量}$$

4. 计算卡方统计量

• 卡方统计量（χ²）是通过比较每个单元格的观测频数（O）与期望频数（E）的差异来计算的，公式如下：

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^c\frac{(O_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}$$

$$其中，r是行数，c是列数，(O_{ij}-E_{ij}{)}^2/E_{ij}表示每个单元格的偏差平方除以其期望频数。$$

5. 确定自由度和临界值

• 自由度计算公式为：$$df=(行数-1)\times (列数-1)$$
• 根据自由度和选定的显著性水平（如α=0.05），查卡方分布表得到对应的临界值（χ²临界值）。

6. 比较并做出决策

• 将计算得到的卡方统计量与临界值比较：
  • $$如果{\chi }^2>{\chi }_{临界值}^2，则拒绝零假设，认为观测数据与理论预期（两变量独立）之间存在显著差异，支持备择假设，即两个分类变量之间存在关联。$$
  • $$如果{\chi }^2\le {\chi }_{临界值}^2，则没有足够的证据拒绝零假设，认为数据支持两变量独立。$$

7. 计算P值

• 实际应用中，除了直接比较χ²值和临界值外，还可以计算出P值。P值是当零假设为真时，获得当前χ²统计量或更极端值的概率。如果P值小于选定的显著性水平（如α=0.05），同样意味着应拒绝零假设。

以上就是进行皮尔森卡方检验的一般过程及其涉及的主要公式。需要注意的是，在实际操作中，还应检查是否满足卡方检验的前提条件，比如确保每个单元格的期望频数不低于5（有的标准放宽到期望频数总和的80%不小于5），以防止χ²分布的近似性失效。

例子

通过一个具体的例子来理解卡方检验的计算过程。假设我们想要研究性别（男、女）与是否喜欢喝咖啡（喜欢、不喜欢）之间是否存在关联。我们随机调查了100人，收集到的数据如下：

1. 建立假设

• 零假设（H₀）：性别与喜欢咖啡之间没有关联。
• 备择假设（H₁）：性别与喜欢咖啡之间存在关联。

2. 计算期望频数

• 男性不喜欢咖啡的期望频数：$$E_{男,不喜欢}=\frac{(男性总计\times 不喜欢咖啡总计)}{总样本量}=\frac{50\times 30}{100}=15$$
• 女性喜欢咖啡的期望频数：$$E_{女,喜欢}=\frac{(女性总计\times 喜欢咖啡总计)}{总样本量}=\frac{50\times 70}{100}=35$$
• 女性不喜欢咖啡的期望频数：$$E_{女,不喜欢}=\frac{(女性总计\times 不喜欢咖啡总计)}{总样本量}=\frac{50\times 30}{100}=15$$

3. 计算卡方统计量

$${\chi }^2=\sum \frac{(O-E{)}^2}{E}$$

4. 确定自由度和临界值

自由度为：$$df=(行数-1)\times (列数-1)=(2-1)\times (2-1)=1$$

对于α=0.05的显著性水平，查卡方分布表，当自由度为1时，临界值约为3.841。

5. 比较并做出决策

由于计算得到的卡方统计量 ( χ² ≈ 4.76 ) 大于临界值3.841，因此我们拒绝零假设，认为性别与喜欢喝咖啡之间存在显著的关联。

规则：
如果卡方统计量大于临界值，意味着我们观察到的数据与零假设预测的模式（即变量间无关联）之间的差异大到不太可能是由于随机抽样误差造成的。因此，统计量落在了拒绝区域内，我们有足够的证据拒绝零假设，接受备择假设，即性别与喜欢喝咖啡之间存在显著的关联。

结论

通过上述步骤，我们发现在这个样本中，性别与喜欢喝咖啡之间存在统计学上的显著关联。这仅是一个示例，实际研究中还需要考虑样本代表性、误差范围等因素。

彩蛋

卡片检验不依据“左侧、右侧、双侧检验”结果进行决策，而是根据显著性原则进行决策