控制系统分析与设计（四）：典型环节的数学模型

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具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构、不同工作原理的元器件，被认为是同一环节，即环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念，则物理结构上千差万别的控制系统都是由为数不多的某些环节组成的。典型环节归纳如下：

1.比例环节（放大环节）

2.惯性环节

$$\tau \frac{d}{dt}y(t)+y(t)=Ku(t)$$
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{\tau s+1}$$
其中$$\tau -时间常数，K-比例系数$$
惯性环节输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟，可以用τ来度量。

• 惯性环节的阶跃响应：令u(t)=1(t)
  $$U(s)=\frac{1}{s}$$
  $$Y(s)=U(s)G(s)=\frac{1}{s}\ast \frac{K}{\tau s+1}$$
  且已知$$L[1(t)]=\frac{1}{s},L[e^{-\alpha t}]=\frac{1}{s+\alpha }$$
  则将上式分解成两项之和为
  $$Y(s)=\frac{1}{s}\ast \frac{K}{\tau s+1}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{1}{\tau }}$$
  
  
  
  
  

  $${A=sY(s)|}_{s=0}={\frac{K}{\tau s+1}|}_{s=0}=K$$
  $${B=(s+\frac{1}{\tau })Y(s)|}_{s=-\frac{1}{\tau }}={\frac{K}{\tau s}|}_{s=-\frac{1}{\tau }}=-K$$
  即
  $$Y(s)=K(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{\tau }})$$
  再作拉氏反变换得
  $$y(t)=L^{-1}[Y(s)]=K(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$$
  
  
  
  
  
  
  

3.积分环节

$$\frac{d}{dt}y(t)=Ku(t)或y(t)=K\int u(t)dt$$
作拉氏变换得
$$sY(s)=KU(s)$$
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{s}=\frac{1}{Ts}（有时令K=\frac{1}{T}）$$
K-比例系数，T-积分时间常数

• 积分环节的阶跃响应：令u(t)=1(t),
  $$U(s)=\frac{1}{s}$$
  $$Y(s)=U(s)G(s)=\frac{K}{s^2}$$
  $$y(t)=L^{-1}[Y(s)]=Kt$$
  
  
  
  
  

4.微分环节

$$c(t)=\tau \frac{d}{dt}r(t)$$
τ – 时间常数,
$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\tau s$$
纯微分环节：
$$G(s)=\tau s$$
一阶微分环节：
$$G(s)=\tau s+1$$
二阶微分环节：
$$G(s)={\tau }^2{s}^2+2\zeta \tau s+1，(0<\zeta <1)$$

• 微分环节的阶跃响应：令r(t)=1(t)
  $$R(s)=\frac{1}{s}$$
  $$G(s)=\tau s$$
  $$C(s)=\tau$$
  则
  $$c(t)=\tau \delta (t)$$
  注：δ(t)是脉冲函数，δ(0)=∞，δ(t!=0)=0,在整个时间轴上的积分是1
  
  
  
  
  
  
• 微分环节实例
  ①RC串联电路
  
  $$Y(s)=\frac{R}{R+\frac{1}{Cs}}U(s)=\frac{RCs}{RCs+1}U(s)$$
  $$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Ts}{Ts+1}$$
  其中T=RC – 时间常数
  
  ②实际的比例微分电路
  
  $$U_o(s)=\frac{R_2}{Z+R_2}{U}_i(s)$$
  其中$$Z=\frac{R_1\frac{1}{Cs}}{R_1+\frac{1}{Cs}}=\frac{R_1}{R_{1}Cs+1}$$
  $$G(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\alpha (\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1})$$
  其中
  $$T=R_{1}C,\alpha =\frac{R_2}{R_1+R_2}$$
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

5.振荡环节

• 振荡环节的阶跃响应：令0<ζ<1,K=1,r(t)=1(t),

$$R(s)=\frac{1}{s}$$
$$G(s)=\frac{K{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
$$C(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s(s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2)}$$
类似惯性环节的阶跃响应，需要对分式分母作因式分解,令：
$$s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$$
则复数
$$s=-\zeta {\omega }_n\pm \sqrt{{\zeta }^2-1}{\omega }_n$$
$$s=-\zeta {\omega }_n\pm j\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_n=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_d$$
$$C(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s(s+\zeta {\omega }_n+j{\omega }_d)(s+\zeta {\omega }_n-j{\omega }_d)}$$
可化成以下两种形式：
①套用L[e^-αtsinωt]、L[e^-αtcosωt]
$$C(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s[(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2]}=\frac{A}{s}+\frac{B(s+\zeta {\omega }_n)}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}+\frac{C{\omega }_d}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}$$
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\zeta {\omega }_n}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}-\frac{\zeta {\omega }_n}{{\omega }_d}\frac{{\omega }_d}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}$$
$$c(t)=1-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}cos{\omega }_{d}t-\frac{\zeta {\omega }_n}{{\omega }_d}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}sin{\omega }_{d}t=1-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}(cos{\omega }_{d}t+\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}sin{\omega }_{d}t)=1-\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}(\sqrt{1-{\zeta }^2}cos{\omega }_{d}t+\zeta sin{\omega }_{d}t)=1-\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}sin({\omega }_{d}t+\varphi )$$
令$$\varphi =arctg\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }$$
②套用L[1(t)],L[e^-αt],用留数的方法求
$$C(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\zeta {\omega }_n+j{\omega }_d}+\frac{C}{s+\zeta {\omega }_n-j{\omega }_d}$$

6.纯滞后环节