排序评估指标——NDCG和MAP

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在搜索和推荐任务中，系统常返回一个item列表。如何衡量这个返回的列表是否优秀呢？

例如，当我们检索【推荐排序】，网页返回了与推荐排序相关的链接列表。列表可能会是[A,B,C,G,D,E,F],也可能是[C,F,A,E,D]，现在问题来了，当系统返回这些列表时，怎么评价哪个列表更好？

这就引出了这篇文章要介绍的两个评价指标——NDCG和MAP，这两个指标都是用来评估排序结果的。

1. NDCG

NDCG的全称是：Normalized Discounted Cumulative Gain(归一化折损累计增益）学习NDCG最好按照G-CG-DCG-NDCG这个顺序来学习。

• Gain：表示一个列表中所有item的相关性分数。rel(i)表示item(i)相关性得分。

  $Gain=rel(i)$

• Cumulative Gain：表示对K个item的Gain进行累加。

  $C{G}_k={\sum }_{i=1}^{k}rel(i)$

  CG只是单纯累加相关性，不考虑位置信息。

  如果返回一个list_1= [A,B,C,D,E]，那list_1的CG为0.5+0.9+0.3+0.6+0.1=2.4

  如果返回一个list_2=[D,A,E,C,B]，那list_2的CG为0.6+0.5+0.1+0.3+0.9=2.4

  所以，顺序不影响CG得分。如果我们想评估不同顺序的影响，就需要使用另一个指标DCG来评估。

• Discounted Cumulative Gain: 考虑排序顺序的因素，使得排名靠前的item增益更高，对排名靠后的item进行折损。

  CG与顺序无关，而DCG评估了顺序的影响。DCG的思想是：list中item的顺序很重要，不同位置的贡献不同，一般来说，排在前面的item影响更大，排在后面的item影响较小。（例如一个返回的网页，肯定是排在前面的item会有更多人点击）。所以，相对CG来说，DCG使排在前面的item增加其影响，排在后面的item减弱其影响。

  $DC{G}_k={\sum }_{i=1}^k\frac{rel(i)}{lo{g}_2(i+1)}$

  怎么实现这个思想呢？DCG在CG的基础上，给每个item的相关性比上log2(i+1)，i越大，log2(i+1)的值越大，相当于给每个item的相关性打个折扣，item越靠后，折扣越大。

  还是上面那个例子：

  list_1=[A,B,C,D,E], 其对应计算如下：

  i	rel(i)	log(i+1)	rel(i)/log(i+1)
  1=A	0.5	1	0.5
  2=B	0.9	1.59	0.57
  3=C	0.3	2	0.15
  4=D	0.6	2.32	0.26
  5=E	0.1	2.59	0.04

  list_1的 DCG_1= 0.5+0.57+0.15+0.26+0.04=1.52

  list_2=[D,A,E,C,B]，其对应计算如下：

  i	rel(i)	log(i+1)	rel(i)/log(i+1)
  1=D	0.6	1	0.6
  2=A	0.5	1.59	0.31
  3=E	0.1	2	0.05
  4=C	0.3	2.32	0.13
  5=B	0.9	2.59	0.35

  list_2的 DCG_2= 0.6+0.31+0.05+0.13+0.35=1.44

  DCG_1 > DCG_2, 所以在这个例子里list_1优于list_2。

  到这里，我们可以知道，使用DCG方法就可以对不同的list进行评估，那为什么后面还有一个NDCG呢？

• NDCG(Normalized DCG): 归一化折损累计增益

  在NDCG之前，先了解一些IDGC(ideal DCG)–理想的DCG，IDCG的依据是：是根据rel(i)降序排列，即排列到最好状态。算出最好排列的DCG，就是IDCG。

  IDCG=最好排列的DCG

  对于上述的例子，按照rel(i)进行降序排列的最好状态为list_best=[B,D,A,C,E]

  i	rel(i)	log(i+1)	rel(i)/log(i+1)
  1=B	0.9	1	0.9
  2=D	0.6	1.59	0.38
  3=A	0.5	2	0.25
  4=C	0.3	2.32	0.13
  5=E	0.1	2.59	0.04

  IDCG = list_best的DCG_best = 0.9+0.38+0.25+0.13+0.04=1.7 (理所当然，IDCG>DCG_1和DCG_2)

  因为不同query的搜索结果有多有少，所以不同query的DCG值就没有办法来做对比。所以提出NDCG。

  $NDCG=\frac{DCG}{IDCG}$

  所以NDGC使用DCG/IDCG来表示，这样的话，NDCG就是一个相对值，那么不同query之间就可以通过NDCG值进行比较评估。

代码：

import numpy as np def dcg_at_k(r, k): """ 计算DCG@K（Discounted Cumulative Gain at K） r: relevance scores k: 排名前K个文档 """ r = np.asfarray(r)[:k] # 将r转换为浮点数类型，仅保留前k个元素 if r.size: return np.sum(r / np.log2(np.arange(2, r.size + 2))) return 0.0 def ndcg_at_k(r, k): """ 计算NDCG@K（Normalized Discounted Cumulative Gain at K） r: relevance scores k: 排名前K个文档 """ dcg_max = dcg_at_k(sorted(r, reverse=True), k) if not dcg_max: return 0.0 return dcg_at_k(r, k) / dcg_max # 示例数据，每个查询的相关性得分 query_results = [ [3, 2, 3, 0, 1], # 第一个查询的相关性得分 [2, 1, 2, 3, 2], # 第二个查询的相关性得分 # ... 更多查询的相关性得分 ] # 计算NDCG@K k = 3 # 假设计算前3个文档的NDCG ndcg_scores = [ndcg_at_k(r, k) for r in query_results] mean_ndcg = np.mean(ndcg_scores) print(f"Mean NDCG@{ 
     k}: { 
     mean_ndcg}") 

2. MAP

要学习MAP指标首先要了解Precision这个指标，即精确度。在推荐系统场景下，我们可以定义正样本为相关的商品，因此Precision就代表了，推荐的 n 个商品中，有多少个商品是相关的。而Recall就代表了数据库中一共有 m个相关商品，推荐系统选出了多少个相关商品。

例如下面的理财产品推荐场景，用户在未来购买了四款产品，而一个推荐系统在当前推荐了三款产品，用户只购买了一款产品。那么此时，推荐系统的Recall为 1/4 ，Precision为 1/3。

值得注意的是，由于屏幕大小限制，推荐系统只能展示前 N 个商品，因此一般推荐系统中的Precision计算会采用Cutoff形式进行计算。如下图所示，尽管我们的推荐系统可以推荐 m个商品，但是在Cutoff-Precision的计算过程中，只会考虑前 k 个商品的Precision。

根据上面的概念，我们就可以定义Average Precision。从公式中可以看出，AP@N可以直观理解为枚举Precision@k之后取平均值。

第k个item的precision是指前k个推荐的item里被用户pick的item有几个

在推荐系统场景下，使用AP最大的好处在于AP不仅仅考虑了商品推荐的准确率，还考虑了推荐顺序上的差异。考虑下面这样一个表格，从整体来考虑的话，三种推荐方案都只推荐了一个相关商品，但是第一种推荐方案明显是更好的，而AP指标可以体现这种差异。

这里的m为3，所以计算第一种推荐方案的时候：

$AP@3=\frac{1}{3}\times (\frac{1}{1}\times 1+\frac{1}{2}\times 0+\frac{1}{3}\times 0)=0.33$

介绍了AP@N指标，我们就可以定义MAP@N指标了。其实MAP@N指标就是将所有用户 UUU 的AP@N指标进行平均。

总的来说，MAP指标同时考虑了预测精准度和相对顺序，从而避免了传统Precision指标无法刻画推荐商品相对位置差异的弊端。因此。在很多推荐系统场景下，MAP指标是一个非常值得尝试的推荐系统评估指标。

代码：

def average_precision(y_true):
    """ 计算单个查询的平均准确率（Average Precision） """
    # 初始化变量
    total_relevant = 0
    precision_sum = 0.0
    for i, value in enumerate(y_true):
        if value == 1:
            total_relevant += 1
            precision_sum += total_relevant / (i + 1)
    if total_relevant == 0:
        return 0
    return precision_sum / total_relevant

def mean_average_precision(y_true_list):
    """ 计算多个查询的平均准确率的平均值（Mean Average Precision） """
    return sum(average_precision(y_true) for y_true in y_true_list) / len(y_true_list)

# 示例数据，每个查询的真实值（0代表不相关，1代表相关）
query_results = [
    [0, 1, 0, 1, 1],  # 第一个查询的真实值
    [1, 0, 0, 1, 0],  # 第二个查询的真实值
    # ... 更多查询的真实值
]

# 计算MAP
map_score = mean_average_precision(query_results)
print("Mean Average Precision (MAP):", map_score)