数学建模：运筹优化类——线性规划

题目：该游戏每天有100点体力，可通过反复通关A、B、C三张地图来获取经验升级，通关A图可获得20点经验，通关B图可获得30点经验，通关C图可获得45点经验，但通关地图会消耗体力，其中通关A图消耗4点体力，通关B图消耗8点体力，通关C图消耗5点体力，同时A、B、C三图每天加在一起最多通关20次，求该怎么组合通关ABC三个地图的次数来使今天获得的经验最大？

解答：由上题可知：
决策变量：三个地图通关次数。设A、B、C三个地图通关的次数分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 。
目标函数：获得的经验最高。设经验为y， $max\ y=20x_1+30x_2+45x_3$ 。
约束条件：消耗体力不能超过100（ $4x_{1}+8x{2}+15x_{3}\leqslant 100$ ），三个地图最多超过20次（ $x_1+x_2+x_3\leq 20$ ），隐藏约束条件（ $x_1,x_2,x_3\geq 0$ ）,
用一般形式（代数形式）表现为：
$max\ y=20x_1+30x_2+45x_3,\\\\ s.t.\left\{\begin{matrix} 4x_1 +8x_2 + 15x_3 \leq 100,\\ x_1+x_2 +x_3 \leq 20, \\ x_1,x_2,x_3\geq 0 .\end{matrix}\right.$
转换为矩阵表现形式为：
$max\ y=c^{T}x,\\\\ s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leq b,\\ x\geq 0. \end{matrix}\right.$
$c=[20,30,45]^{T},x=[x_1,x_2,x_3]^{T}, A=\begin{bmatrix} 4 & 8 & 15\\ 1 & 1& 1 \end{bmatrix}, b=[100,20]^{T}$

其中：

$c=[c_1,c_2,...,c_n]^{T}$ ——目标函数的系统向量，即价值向量；
$x=[x_1,x_2,...,x_n]^{T}$ ——决策向量；
$A=(a_{ij})_{mxn}$ ——约束方程组的系数矩阵；
$b=[b_1,b_2,...,b_m]^{T}$ ——约束方程组的常数向量。

编程实现：

import numpy as np from scipy.optimize import linprog # 目标函数系数，这里取负值，因为linprog默认进行最小优化 c=[-20,-30,-45] # 不等式约束的系数矩阵 A_ub=[ [4,8,15], [1,1,1] ] # 不等式约束的右侧向量值b b_ub=[100,20] # 定义域 bounds=[[0,None],[0,None],[0,None]] # 求解线性规划问题 # 注意：由于linprog默认是求解最小化问题，我们通过对目标函数系数取负值来转换为最大化问题 result=linprog(c,A_ub,b_ub,bounds=bounds) # 输出结果 print('A、B、C三图分别通关的次数为：',result.x) # 解向量 # 目标函数的最大值是最小化问题的相反数 y=-result.fun print('最终获得的经验为：',y)

5.2 投资选择

题目：市场上有n种资产（如股票、债券、……） s_i （i=1,2,…,n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买资产 s_i 的平均收益率为 r_i ，并预测出购买 s_i 的风险损失率为 q_i 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 s_i 中最大的一个风险来度量。

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是（=5%），且既无交易又无风险。
已知 n=4 时的相关数据如表所示：

（%）	（%）	（%）	（元）
28	2.5	1	103
21	1.5	2	198
23	5.5	4.5	52
25	2.6	6.5	40

问：给上述公司设计投资组合方案，用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，总体风险尽可能小。

解答：由上题可知：
决策变量：投资不同项目的为（i=1,2,…,n）。
目标函数：净收益Q尽可能大、总风险尽可能小。
约束条件：总资金M有限，每一笔投资都是非负数。

模型假设：

可供投资的资金数额M相当大。

投资越分散，总的风险越小，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。

可供选择的 n+1 种资产（含银行存款）之间是相互独立的。

每种资产可购买的数量为任意值。

在当前投资周期内，，，，（i=0,1,…,n）固定不变。

不考虑在资产交易过程中产生的其他费用。

由于投资数额M相当大，而题目设定的定额相对M很小，更小，因此假设每一笔交易都大于对应定额。

模型简化：
在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，这时可以给定风险一个界限a，使最大的一个风险 $\frac{q_ix_i}{M}\leq a$ ，这样就可以将目标函数中的 $min\begin{Bmatrix} max_{1\leq i\leq n}\begin{Bmatrix} q_ix_i \end{Bmatrix} \end{Bmatrix}$ 转换为约束条件 $\frac{q_ix_i}{M}\leq a$ （总体风险小于某个常数）。至此，模型用一般形式表现为：
$s.t.\left\{\begin{matrix} \frac{q_ix_i}{M}\leq a,i=1,2,...,n ,\\\\ \sum_{i=0}^{n}(1+p_i)x_i=M,\\\\ x_i\geq 0,i=0,1,...,n \end{matrix}\right.$
将数值代入进去得：
$min\ f=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]\cdot [x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]^{T}\\\\ s.t.\left\{\begin{matrix} x_0+1.01x_1+1.02x_2+1.045x_3+1.065x_4=M ,\\ 0.025x_1\leq aM ,\\ 0.015x_2\leq aM ,\\ 0.055x_3\leq aM ,\\ 0.026x_4\leq aM , \\ x_i\geq 0\ (i=0,1,...4). \end{matrix}\right.$
这里 M 我们取1万元，由于 a 是任意给定的风险度，不妨 a 从0开始，以步长 $\Delta a$ =0.001进行循环搜索，搜索至 a=5%（低风险者能够接受的风险）。

编程实现：

import matplotlib.pyplot as plt from numpy import ones,diag,c_,zeros # 用于创建和操作数组 from scipy.optimize import linprog # 用于执行线性规划 # 设置matplotlib的参数使其支持LaTeX文本和字体大小 plt.rc('text',usetex=True) plt.rc('font',size=16) # 线性规划问题的目标函数系数 c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185] # 线性不等式约束的系数矩阵 # 使用c_来合并数组，zeros创建一个全0的数组作为第1列，diag创建一个对角阵 A=c_[zeros(4),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])] # 线性等式约束的系数矩阵和右侧的值 Aeq=[[1,1.01,1.02,1.045,1.065]] beq=[1] # 初始化参数a，以及两个用于存储结果的空列表 a=0 aa=[] ss=[] # 循环，a的值从0开始，以0.0001的步长增加，直到0.05 while a<0.05: # 创建线性不等式约束的右侧值(b) b=ones(4)*a # 执行线性规划，得到最优解 res=linprog(c,A,b,Aeq,beq,bounds=[(0,None),(0,None),(0,None),(0,None),(0,None)]) # 提取线性规划的解向量x和最优值Q x=res.x Q=-res.fun # 将当前的a值和对应的最优值Q存入列表 aa.append(a) ss.append(Q) # a增加0.001 a=a+0.001 # 绘制结果，a值与最优值Q之间的关系图 plt.plot(aa,ss,'r*') # 使用红色星号标记数据点 # 设置坐标轴标签，其中a和Q将使用LaTeX格式显示 plt.xlabel('$a$') plt.ylabel('$Q$',rotation=90) # 显示图形 plt.show()

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数学建模：运筹优化类——线性规划

1.线性规划

2.线性规划模型三要素

3.模型特点

4.建模步骤

5.案例演示

5.1 游戏升满级

5.2 投资选择

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