【时间序列分析】05.谱函数与谱密度

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五、谱函数与谱密度

1.谱函数与谱密度

对于时间序列的初学者来说，谱函数、谱密度是一个很抽象的概念，难以理解。只需知道，谱反映了平稳序列的相关结构，如果我们将原始序列看成许多个不同频率的余弦波叠加，谱密度越高的地方，对应的频率成分的振幅越大。

谱函数、谱密度与平稳序列的关系，类似于随机变量与分布函数之间的关系——平稳序列谱函数是唯一存在的，且定义在$[-\pi ,\pi ]$上。下面给出谱函数、谱密度的定义：

谱函数：如果有$[-\pi ,\pi ]$上的单调不减右连续的函数$F(\lambda )$，使得
$${\gamma }_k={\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}F(\lambda ),F(-\pi )=0,k\in \mathbb{Z},$$
就称$F(\lambda )$是 { X t } \{X_t\} {
Xt​}或 { γ k } \{\gamma_k\} {
γk​}的谱分布函数，简称谱函数。

谱密度：如果有$[-\pi ,\pi ]$上的非负函数$f(\lambda )$，使得
$${\gamma }_k={\int }_{-\pi }^{\pi }f(\lambda )e^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}\lambda ,k\in \mathbb{Z},$$
就称$f(\lambda )$是 { X t } \{X_t\} {
Xt​}或 { γ k } \{\gamma_k\} {
γk​}的谱密度函数，简称谱密度。

谱函数的重要意义，就是它与平稳分布的对应性，如下的定理保证平稳序列的谱函数唯一存在。

Herglotz定理：平稳序列的谱函数是唯一存在的。

从此定理可以推知，如果谱密度存在，则在几乎处处的意义下也是唯一的。

从谱函数、谱密度的定义来看，给定自协方差函数求谱函数不是那么容易，给定谱密度求自协方差函数是比较容易的，所以接下来我们对部分谱函数、谱密度进行求算。

2.无穷滑动和的谱密度

首先讨论我们之前着重说明的无穷滑动和： { ε t } ∼ W N ( 0 , σ 2 ) \{\varepsilon_t\}\sim {\rm WN}(0,\sigma^2) {
εt​}∼WN(0,σ2)，实数列 { a j } \{a_j\} {
aj​}平方可和，线性平稳序列如此定义：
$$X_t=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{\epsilon }_{t-j},t\in \mathbb{Z}.$$
要求这个平稳序列的谱密度不容易，我们采用构造的方式来求算，需要用到上一篇笔记中，最后构造出的复值随机序列：$Y\sim U(-\pi ,\pi ),{\epsilon }_n=e^{\mathrm{i}nY}$，我们已经证明了$\mathrm{E}{\epsilon }_n={\delta }_n,\mathrm{E}({\epsilon }_n{\bar{\epsilon }}_m)={\delta }_{n-m}$，再令
$$Z_n=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{\epsilon }_{t-j},t\in \mathbb{Z}.$$
这里的$Z_n$并非一个复平稳序列，但我们同样可以验证
$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}(Z_n{\bar{Z}}_m)=& \mathrm{E}(\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{\epsilon }_{n-j})(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{\epsilon }_{m-k})\\ =& \mathrm{E}\left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_j{a}_k{\epsilon }_{n-j}{\epsilon }_{m-k}\right)\\ =& \sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_j{a}_k{\delta }_{n-j-(m-k)}\\ =& \sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{a}_{k+(n-m)}\end{array}$$
另一方面，从复数的定义入手，有
$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}(Z_n{\bar{Z}}_m)=& \mathrm{E}\left[\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{\mathrm{i}(n-j)Y}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{-\mathrm{i}(m-k)Y}\right]\\ =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{\mathrm{i}(n-j)y}\right)\left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{-\mathrm{i}(n-j+m-n)y}\right)\mathrm{d}y\\ =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{\mathrm{i}jy}\right|}^2{e}^{\mathrm{i}(n-m)y}\mathrm{d}y.\end{array}$$
联立两式，就得到一个恒等式：
$$\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{a}_{j+k}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{\mathrm{i}jy}\right|}^2{e}^{\mathrm{i}ky}\mathrm{d}y.$$
这个恒等式事实上不依赖于${\epsilon }_n$的定义，也就是在平方可和的任何情况下都适用，所以自然地应用到我们的无穷滑动和上，得到
$${\gamma }_k={\sigma }^2\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{a}_{j+k}=\frac{{\sigma }^2}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{\mathrm{i}j\lambda }\right|}^2{e}^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}\lambda .$$
对照形式，自然地就有无穷滑动和的谱密度为
$$f(\lambda )=\frac{{\sigma }^2}{2\pi }{\left|\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{\mathrm{i}j\lambda }\right|}^2.$$
从这个式子入手，如果取$a_j={\delta }_j$，则得到零均值白噪声的谱密度为$f(\lambda )={\sigma }^2/2\pi$。

3.零均值正交平稳序列的谱

若 { X t } , { Y t } \{X_t\},\{Y_t\} {
Xt​},{
Yt​}是相互正交的零均值平稳序列，$c$是常数，定义$Z_t=X_t+Y_t+c$。

1. 如果 { X t } , { Y t } \{X_t\},\{Y_t\} {
   Xt​},{
   Yt​}分别有谱函数$F_X(\lambda ),F_Y(\lambda )$，则平稳序列 { Z t } \{Z_t\} {
   Zt​}有谱函数$F_Z(\lambda )=F_X(\lambda )+F_Y(\lambda )$；
2. 如果 { X t } , { Y t } \{X_t\},\{Y_t\} {
   Xt​},{
   Yt​}分别有谱密度$f_X(\lambda ),f_Y(\lambda )$，则平稳序列 { Z t } \{Z_t\} {
   Zt​}有谱密度$f_Z(\lambda )=f_X(\lambda )+f_Y(\lambda )$。

这个结论也说明了对平稳序列作纵坐标平移不影响谱函数，所以对非零均值的白噪声 { ε t } ∼ W N ( μ , σ 2 ) \{\varepsilon_t\}\sim {\rm WN}(\mu,\sigma^2) {
εt​}∼WN(μ,σ2)，其谱密度依然是$f(\lambda )={\sigma }^2/2\pi$，因此我们也得到一个重要结论：

白噪声的谱密度为常数。

由谱密度的唯一性，谱密度为常数的自协方差函数是白噪声的。

4.线性滤波的谱密度

考虑绝对可和的保时线性滤波器 H = { h j } H=\{h_j\} H={
hj​}，并设平稳序列 { X t } \{X_t\} {
Xt​}有谱函数$F_X(\lambda )$和自协方差函数 { γ k } \{\gamma_k\} {
γk​}，输出过程是平稳序列
$$\begin{gathered} Y_t=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{h}_j{X}_{t-j}, \\ {\gamma }_Y(k)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }{h}_j{h}_l{\gamma }_{k+l-j} \end{gathered}$$
所以
$$\begin{array}{rl}{\gamma }_Y(k)=& \sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }{h}_j{h}_l{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{\mathrm{i}(k+l-j)\lambda }\mathrm{d}{F}_X(\lambda )\\ =& {\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }{h}_j{h}_l{e}^{\mathrm{i}(l-j)\lambda }{e}^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}{F}_X(\lambda )\\ =& {\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|\sum _{j=-\infty }^{\infty }{h}_j{e}^{-\mathrm{i}j\lambda }\right|}^2{e}^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}{F}_X(\lambda )\\ \underset{|z|\le 1}{\overset{H(z)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{h}_j{z}^j}{=}}& {\int }_{-\pi }^{\pi }|H(e^{-\mathrm{i}\lambda }){|}^2{e}^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}{F}_X(\lambda ).\end{array}$$
所以有
$$\begin{gathered} \mathrm{d}{F}_Y(\lambda )=|H(e^{-\mathrm{i}\lambda }){|}^2\mathrm{d}{F}_X(\lambda ), \\ {F}_Y(\lambda )={\int }_{-\pi }^{\lambda }|H(e^{-\mathrm{i}s}){|}^2\mathrm{d}{F}_X(s). \end{gathered}$$
如果 { X t } \{X_t\} {
Xt​}有谱密度，那么自然地有
$$\begin{gathered} {\int }_{-\pi }^{\pi }|H(e^{-\mathrm{i}\lambda }){|}^2{e}^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}{F}_X(\lambda )={\int }_{-\pi }^{\pi }|H(e^{-\mathrm{i}\lambda }){|}^2{f}_X(\lambda )e^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}\lambda , \\ {f}_Z(\lambda )=|H(e^{-\mathrm{i}\lambda }){|}^2{f}_X(\lambda ). \end{gathered}$$

回顾总结

1. 任何平稳序列都与谱函数一一对应。谱函数和谱密度的定义分别为
   $${\gamma }_k={\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}F(\lambda )\stackrel{如果有}{=}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(\lambda )e^{\mathrm{i}k\lambda }\mathrm{d}\lambda .$$
   
2. 给定谱函数后，如果其连续且仅在有限点处不可导，则谱密度就是其导函数；给定谱密度后，谱函数就是其变上限积分。
3. 实值平稳序列如果存在谱密度，则谱密度是一个偶函数。任何$[-\pi ,\pi ]$上的非负偶函数都可以是谱密度。
4. 某平稳序列是白噪声，等价于其谱密度为常数。
5. 对于零均值白噪声构成的线性平稳序列$X_t=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{\epsilon }_{t-j}$，其谱密度为
   $$f(\lambda )=\frac{{\sigma }^2}{2\pi }{\left|\sum _{j=-\infty }^{\infty }{a}_j{e}^{\mathrm{i}j\lambda }\right|}^2.$$
   
6. 零均值正交平稳序列的和，其谱函数、谱密度都是两个分谱函数、分谱密度之和。纵向平移不改变序列的谱密度。
7. 保时线性滤波器的谱函数为$F(\lambda )={\int }_{-\pi }^{\lambda }|H(e^{-\mathrm{i}s}){|}^2\mathrm{d}{F}_X(s)$，如果存在谱密度，则谱密度为$f(\lambda )=|H(e^{-\mathrm{i}\lambda }){|}^2{f}_X(\lambda )$，这里$H(z)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{h}_j{z}^j,|z|\le 1$。