第三十二讲 极限环

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速度场：$\vec{F}=f\hat{i}+g\hat{j}=x^{\prime }\hat{i}+y^{\prime }\hat{j}$
（多变量微积分第十二讲有详解）

方程组的解$\left[\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right]$即速度场$\vec{F}$的轨迹

方程组$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$即速度场$\vec{F}$轨迹上的速度向量

临界点（驻点）$\left[\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}\right]$是常数解，从场的角度看，他们是$\vec{F}=0$的地方，或者说速度向量$\left[\begin{array}{c}{x}_0^{\prime }=0\\ y_0^{\prime }=0\end{array}\right]$的地方

物理含义：极限环表示自然界里一些有运动周期的系统，即便受到干扰，也会逐渐回到原先的周期状态。比如，呼吸的频率，即使在某一时间可以控制改变呼吸的频率，但当不去控制的时候，就会自然变回原来的频率。人血液中各种荷尔蒙和二氧化碳的水平，让会使人的呼吸回到自然状态。

临界点准则：
例如，判断方程组$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x^2+y^2+1\\ y^{\prime }=x^2-y^2\end{array}$是否存在极限环
利用本迪克松准则，计算$div\vec{F}=2x+2y$，在y=x这条线上，$div\vec{F}=0$
依据此准则，可以判断在不含y=x这条线的区域不存在闭合轨迹，但却不能判断包含y=x这条线相交的区域也不存在闭合曲线，因为有些地方$div\vec{F}=0$
临界点准则：假设在x-y平面D区域内，存在一个闭合轨迹C，则在闭合轨迹内部R某处必定存在一个临界点。因此，如果D区域内没有临界点，则区域内没有闭合轨迹，更没有极限环。
因为$x^{\prime }=x^2+y^2+1̸=0$，所以不存在临界点。
因此没有极限环。