【数学分析】集合 ① ( 集合概念 | 集合表示 | 常用的数集合 | 集合的表示 )

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一、集合概念

集合概念 : 具有某种 特定性质 具体的 或 抽象的 对象 汇集的 总体 ;

上述概念中的 ” 对象 “ 又称为 ” 集合元素 ” ;

二、集合表示

集合 通常使用 大写字母 $\mathrm{S},\mathrm{T},\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{X},\mathrm{Y}$ 表示 ;

集合元素 使用 小写字母 $\mathrm{s},\mathrm{t},\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{x},\mathrm{y}$ 表示 ;

元素 $\mathrm{x}$ 是集合 $\mathrm{S}$ 的元素 , 则表示为 $\mathrm{x}\in \mathrm{S}$ ;

元素 $\mathrm{x}$ 不是集合 $\mathrm{S}$ 的元素 , 则表示为 $\mathrm{x}\notin \mathrm{S}$ ;

三、常用的数集合

自然数集合 : N = { 0 , 1 , 2 , ⋯ } \rm N = \{0,1,2,⋯\} N={
0,1,2,⋯}

正整数集合 : N + = { 1 , 2 , 3 , ⋯ } \rm N^+ = \{1,2,3,⋯\} N+={
1,2,3,⋯}

整数集合 : Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   } \rm Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \} Z={
0,±1,±2,⋯}

有理数集合 : Q = { x ∣ q p , p ∈ N + , q ∈ Z } \rm Q = \{ x | \cfrac{q}{p} , p \in N^+ , q \in Z \} Q={
x∣pq​,p∈N+,q∈Z}

实数集合 : $\mathrm{R}$

复数集合 : $\mathrm{C}$

四、集合的表示

集合的表示 :

• 枚举法 : 枚举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 : A = { 0 , 1 , 2 , 3 } A = \{0, 1, 2, 3\} A={
  0,1,2,3} , B = { 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯   } B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\} B={
  0,1,2,3,⋯}
• 描述法 : 具有某种特性 $\mathrm{P}$ 的元素 , 汇总的集合 ; 使用 谓词 $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ 表示 $\mathrm{x}$ 具有性质 $\mathrm{P}$ , 使用 { x ∣ P ( x ) } \rm \{x | P(x)\} {
  x∣P(x)} 表示具有性质 $\mathrm{P}$ 的集合 ;

示例 : $2$ 的方根组成的集合 , 该集合中有两个元素 , 分别是正的方根 $+\sqrt{2}$ 和负的方根 $-\sqrt{2}$ ;

使用枚举法表示 : S = { + 2 , − 2 } \rm S = \{ +\sqrt{2} , -\sqrt{2} \} S={
+2
​,−2
​} ;

使用描述法表示 : S = { x ∣ x 2 = 2 } \rm S = \{ x | x^2 = 2 \} S={
x∣x2=2} ;

有理数集合表示 : Q = { x ∣ q p , p ∈ N + , q ∈ Z } \rm Q = \{ x | \cfrac{q}{p} , p \in N^+ , q \in Z \} Q={
x∣pq​,p∈N+,q∈Z} ;

集合中表示的元素 , 没有先后顺序 , { a , b } \rm \{ a, b \} {
a,b} 和 { b , a } \rm \{ b , a \} {
b,a} 是 相同的集合 ;

集合中的 重复元素没有意义 , 因此有 { a , b } = { b , a } = { a , a , b } \rm \{ a, b \} = \{ b , a \} = \{ a, a, b \} {
a,b}={
b,a}={
a,a,b} ,

即使集合中 有两个 $a$ 元素 , 其 本质还是一个 $a$ 元素 ;