1.7 商群

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§7 商群

在群中，我们定义子集合的运算：

设 $A,B$ 是群 $G$ 的两个子集合。定义：
A B = { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } AB = \{ ab | a\in A,b \in B \} AB={
ab∣a∈A,b∈B}
即由 $A$ 中元素和 $B$ 中元素相乘所得的集合。子集乘积满足结合律：$(AB)C=A(BC)$.

显见:若 $A$ 为一子群， B = { b } B=\{b\} B={
b}，则 $AB$ 是子群 $A$ 的一个右陪集。

对于任意子集合 $A$，定义：
A − 1 = { a − 1 ∣ a ∈ A } A^{-1} = \{ a^{-1} | a\in A \} A−1={
a−1∣a∈A}
即由 $A$ 中元素的逆元素组成的集合。

注：利用集合运算，我们可将定理1.4.1改写为：

群 $G$ 中非空子集合 $H$ 为一子群的充要条件是：$H{H}^{-1}\subset H.$

对于正规子群，我们有如下重要事实：

定理1.7.1

设 $H$ 为群 $G$ 的一个子群，$H$ 是正规子群的充要条件是：任意两个左（右）陪集之积仍为一个左（右）陪集。

证明

“$\Rightarrow$”

设 $H$ 为一正规子群，$Ha，Hb$ 是两个右陪集。则：
$$(Ha)(Hb)=H(aH)b=H(Ha)b=Hab.$$

“$\Leftarrow$”

设 $Ha，Hb$ 是任意两个右陪集。由条件 $(Ha)(Hb)=Hc.$ 显然 $ab\in (Ha)(Hb)$，即 $ab\in Hc$. 固有
$$(Ha)(Hb)=Hc=Hab$$
两边用 $b^{-1}$ 右乘得：
$$HaH=Ha.$$
因为 $e\in H$，所以$aH\in HaH$，即：
$$aH\in Ha$$
或
$$aH{a}^{-1}\subset HaH,对所有的a\in G.$$
将 $a$ 换为 $a^{-1}$，则有
$$a^{-1}Ha\subset H$$
从而
$$aH{a}^{-1}=H，对所有的a\in G.$$
这证明了 $H$ 为正规子群。$■$

令 $G/H$ 代表正规子群 $H$ 的全部不同的右陪集所组成的集合。

定义1.7.1（商群）

$G/H$ 在陪集的乘法下所成的群称为 $G$ 对正规子群 $H$ 的 商群，仍记为 $G/H$。

对于正规子群，左陪集也就是右陪集，故 $G/H$ 亦可以看作是左陪集所组成的群。

定义1.7.2（自然同态）

设 $H◃G$ 。定义
$$\phi (a)=Ha,$$
显然有
$$\phi (ab)=Hab=HaHb=\phi (a)\phi (b).$$
因此， $\phi$ 是 $G$ 到 $G/H$ 的一个同态，而且是映上的。称其为群 $G$ 到其商群的自然同态。

下面的定理进一步叙述了同态和正规子群的关系：

定理1.7.2（群同态基本定理）

设 $\sigma :G\to G^{\prime }$ 是一满同态 ， $N$ 是$\sigma$ 的核，则 $G/N$ 和 $G^{\prime }$ 同构。

证明

设 $\phi :G\to G/N$ 是一自然同态。这样，有两个满同态：$\sigma$ 和 $\phi$. 要找一个同构 $\psi :G/N\to G^{\prime }.$