【数学】概念的理解 —— 有序对（ordered pair）

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有序对 $(a, b)$ 是一组对象，不同的顺序意味着不同的对象，$(a,b)\neq (b,a)$ 除非 $a=b$，正是因为对象的相对顺序是有着不同含义的，因此有时也称之为 2 维向量。与之相对的无序对（unordered pair），则 $\{a,b\}=\{b,a\}$。

1. 基本定义

给定有序对 $(a_1,b_1)$ 和 $(a_2,b_2)$，则有：

$$(a_1, b_1) = (a_2, b_2)\text{ if and only if } a_1 = a_2\text{ and }b_1 = b_2.$$

2. 基于集合论的相关定义

• Wiener’s definition
  (a,b):={
  {
  {
  a},∅},{
  {
  b}}}.

  $$\left( a, b \right) := \left\{\left\{ \left\{a\right\},\, \emptyset \right\},\, \left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.$$

• Hausdorff’s definition
  (a,b):={
  {
  a,1},{
  b,2}}

  $$(a, b) := \left\{ \{a, 1\}, \{b, 2\} \right\}$$