数据结构——外部排序

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一、外部排序

1.1 基本思想

有时，待排序的文件很大，计算机内存不能容纳整个文件，这时候对文件就不能单纯的使用内部排序了，还得采取一些其他的策略。因此需要将待排序的记录存储到外存上，排序时再将数据一部分一部分地调用内存进行排序，在排序过程中需要多次进行内存和外存之间地交换，这种排序方法就成为外部排序。

文件通常是按块存储在磁盘上的，操作系统也是按块对磁盘上的信息进行读写的。因为磁盘读/写的机械动作所需的时间远远超过内存运算的时间，因此外部排序过程中的时间代价主要考虑访问磁盘的次数，即I/O次数。

外部排序常采用的排序方法是归并排序，这种归并方法由两个不同的阶段组成：

1. 根据内存缓冲区大小，将外存中的文件分成若干个长度为$l$的子文件，依次读入内存并利用内部排序方法对它们排序，并将排序后得到的有序子文件重新写回外存，称这些有序子文件为归并串或顺串；
2. 对这些归并段进行逐趟归并，使归并段（有序子文件）逐渐由小到大，直至得到整个有序文件为止。

1.2 图解

（2）将$(36,8,26)$和$(42,9,48)$分别存入输入缓冲区$1$和输入缓冲区$2$

（3）将输入缓冲区$1$和输入缓冲区$2$的数据进行递增排序

（4）将输入缓冲区$1$和输入缓冲区$2$的数据通过输出缓冲区逐一写入外存，形成一个有序归并段

（5）对于$(1,37,25)$和$(45,27,28)$进行上述同样的操作后得到的结果:

(6) 对剩余$12$块内存依次进行上述操作，总共需要进行$16$次读操作和$16$次写操作，得到初始归并段。

（7）第一次归并：读入归并段$1$和归并段$2$中的第一块磁盘（相对最小），进行排序:

（8）依次找出这两个输入缓冲区中最小元素，并将其移动到输出缓冲区中，当输出缓冲区满，则写入外存$(1,8,9)$

（9）继续找出这剩余元素中的最小元素，直到某一个缓冲区中空，则读入其所属归并段的后一个内存块的数据，并继续进行上述操作。直到两个缓冲区都空，且归并段$1$和归并段$2$中的元素全部读入内存，此时归并段$1$和归并段$2$就得到了一个有序的递增序列。

输入归并段$1$的第二块内存

排序完成，归并段$1$和归并段$2$递增有序

（10）对剩余的六个归并段进行上述操作，八个归并段→四个归并段

（11）第二次归并：继续采用此方法依次取出归并段$1$和归并段$2$（归并段$1$为八个归并段时的归并段$1$和归并段$2$，归并段$2$为八个归并段时的归并段$3$和归并段$4$）的各个块进行排序操作：四个归并段→两个归并段。

（12）第三次归并：继续排序归并段$1、2$，形成最后的有序递增序列

1.3 外部排序的开销

总时间开销 = 内部排序所需时间 + 内部归并所需时间 + 外部读写所需时间

1.4 优化：多路平衡归并

若改用$4$路归并排序，则只需$2$趟归并，外部排序时的总读/写次数便减至$32\times 2+32=96$。因此，增大归并路数，可减少归并趟数，进而减少总的磁盘$I/O$次数。

一般地，对$r$个初始归并段，做$k$路平衡归并,归并树可用严格$k$叉树（即只有度为$k$与度为$0$的结点的$k$叉树)来表示。第一趟可将$r$个初始归并段归并为$\lceil r/k\rceil$个归并段，以后每趟归并将$m$个归并段归并成$\lceil m/k\rceil$个归并段，直至最后形成一个大的归并段为止。$树的高度-1=\lceil lo{g}_{k}r\rceil =归并趟数S$。可见，只要增大归并路数$k$，或减少初始归并段个数$r$，都能减少归并趟数$S$，进而减少读写磁盘的次数，达到提高外部排序速度的目的。

二、败者树

为了使内部归并不受$k$的增大的影响，引入了败者树。败者树是属性选择排序的一种变体，可视为一棵完全二叉树。

1. 将每个归并段的第一个元素作为叶子结点加入败者树中
   
   
2. 从左至右、从上往下的更新分支节点的信息：判断其左右子树的大小，除了根节点（最上面那个结点）记录冠军来自哪个归并段外，其余各分支节点记录的是失败者来自哪个归并段。
   
   
3. 取出最小的元素$1$后，从其所属的归并段中取出下一个元素$6$，依次与从叶子结点到根节点的各个结点所记录的败者信息进行对比。
   
   引进败者树后，选出最小的关键字，仅需$lo{g}_{2}k$次比较（向上取整）。
   
   

可见，使用败者树后，内部归并的比较次数与$k$无关了。因此，只要内存空间允许，增大归并路数$k$将有效地减少归并树的高度，从而减少$IO$次数，提高外部排序的速度。

值得说明的是，归并路数k并不是越大越好。归并路数$k$增大时，相应地需要增加输入缓冲区的个数。若可供使用的内存空间不变，势必要减少每个输入缓冲区的容量，使得内存、外存交换数据的次数增大。当$k$值过大时，虽然归并趟数会减少，但读写外存的次数仍会增加。

三、置换选择排序

使用选择置换排序，可以让每个初始段的长度不再受限于内存工作区大小，设内存工作区最多容纳$w$个数据：

1. 将待排序文件$FI$输入$w$个数据到内存工作区$WA$中
2. 选择$WA$中关键字最小的数据，输出到$FO$中，并且用$MIN$记录该最小关键字
3. 若$FI$不空，则从$FI$中继续输入文件到$WA$
4. 从$WA$中选出比$MIN$更大的关键字的数据，输出并更新此最小关键字作为新$MIN$
5. 重复2~4直到$WA$中的每个关键字都＞$MIN$为止，由此得到一个新的归并段
6. 重复2~5，直到$WA$空，得到全部初始归并段

四、最佳归并树

1. 性质和构造完全相同于哈弗曼树
2. 与哈弗曼树的区别：
   • $k$叉树，其中$k>2$时：需要判断是否能满足构造完全$k$叉树，若不满足，则需要添加长度为$0$的“虚段”
     • 若$(初始归并段数量-1)\%(k-1)=0$，则能构成完全$k$叉树
     • 若$(初始归并段数量-1)\%(k-1)=u\ne 0$，则说明需要添加$(k-1)-u$个虚段才能构成完全二叉树

参考文章

数据结构——外部排序