优化方法理论合集（13）——可行域

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1. 可行域定义

设具有初始状态$\vec{x}(t_0)$，时间区间$t\in [t_0,t_k=T]$，对控制量的限制$|\vec{u}|\le U_{\max }$。设最终状态量落入的区域为可行域，具有如下图示：

图中红色阴影部分为可行域$G\left(\vec{x}(t_0),t_k,U\right)$，黑色曲线为可行域边界$\partial G$。

要求系统的末状态落入规定的可行域内：

图中蓝色为可行域的近边界，绿色为可行域的远边界；而$v_i$为初始状态出发时的朝向。
对于任意一个出发朝向$v_i$，均有一个近边界点和远边界点，这两个点即为沿着$v_i$方向可以到达的最近和最远点。

2. 问题描述

这里对于一个具体的物理问题给出数学模型。对于飞行中的飞机，设其速度$V=const.$，飞机朝向与地面水平夹角为$\theta$。
$$\{\begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\frac{ng}{V}\\ \frac{dX}{dt}=V\cos \theta \\ \frac{dY}{dt}=V\sin \theta \end{array}$$其中$g$为重力加速度，$n$为外力加载在飞机上的方向：

由于外力加载方向$\vec{n}$垂直于飞机速度$\vec{V}$，因此飞机会发生偏转。

不妨将外力视为控制量，对于其有物理限制：
$$|n|\le n^{\max }$$而该物理问题可以描述为：速度$V$为常数的情况下，求出飞机可巡航的最大与最小距离。由于飞机的朝向$v_i$不同，因此其距离也不同。

图中绿线即为最短距离，蓝线即为最长距离。

3. 解题

另一方面，引入角度$\phi$为$C_X,X_Y$两个向量之间夹角：

有
$$\{\begin{array}{l}{C}_X=\sqrt{C_X^2+C_Y^2}\cos \phi \\ C_Y=\sqrt{C_X^2+C_Y^2}\sin \phi \end{array}$$记$A=\sqrt{C_X^2+C_Y^2}>0$，代入$H$有
$$\begin{array}{rl}H& ={\psi }_{X}V\cos \theta +{\psi }_{Y}V\sin \theta +{\psi }_{\theta }\frac{ng}{V}\\ & =AV\cos \theta \cos \phi +AV\sin \theta \sin \phi +{\psi }_{\theta }\frac{n^{\circ }g}{V}\end{array}$$再代入$n^{\circ }=n^{\max }\cdot sign\left({\psi }_{\theta }\right)$有
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}H& =AV\cos \theta \cos \phi +AV\sin \theta \sin \phi +{\psi }_{\theta }\frac{n^{\circ }g}{V}\\ & =AV\cos \theta \cos \phi +AV\sin \theta \sin \phi +{\psi }_{\theta }\frac{g}{V}\cdot n^{\max }\cdot sign\left({\psi }_{\theta }\right)\\ & =AV\cos \theta \cos \phi +AV\sin \theta \sin \phi +\left|{\psi }_{\theta }\right|\frac{g}{V}\cdot n^{\max }\\ & =AV\cos \left(\theta -\phi \right)+\left|{\psi }_{\theta }\right|\frac{g}{V}\cdot n^{\max }\\ & =AV\cos \xi +\left|{\psi }_{\theta }\right|\frac{g}{V}\cdot n^{\max }\end{array} \\ \text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$在表达式(6)中可以看出，$H$和$n$的关系是线性的。

4. 凯里指标