计算几何——极角排序

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极角

在平面上任取一个顶点$O$，称为极点；作射线$X$，那么$OX$就是极轴。平面上任意一点和$O$点作向量，与$OX$形成的夹角就叫做极角。通常选定逆时针方向为正，一般我们以$x$轴为极轴，那么极角就是平面向量与$x$轴的夹角

极角排序

给定极轴，在平面上分布着若干点，将这些点相对于极轴的极角大小排序，就叫做极角排序。注意如果极角相同，那么需要按$x$升序处理

如下图，排序后的点集为$ABCDEF$

利用atan2(double y,double x)函数排序

$atan2(doubley,doublex)$函数返回的是原点至点$(x,y)$的方位角，即与$x$轴的夹角，单位是弧度,范围$(-\pi ,\pi ]$。因此$atan2(doubley,doublex)$函数天然适合极角排序

bool cmp(Point a, Point b) { 
    if(dcmp(atan2(a.y, a.x) - atan2(b.y, b.x)) == 0) //dcmp为判断浮点数是否为0的函数 return a.x < b.x; return atan2(a.y, a.x) < atan2(b.y, b.x); } 

利用向量叉乘排序

下面是默认以$O$点为极点

bool cmp(Point a, Point b) { 
    if((a ^ b) == 0) return a.x < b.x; return (a ^ b) > 0; } 

如果需要自定义极点，那么就传入极点

Point o; //o为极点 bool cmp(Point a, Point b) { 
    Point p = a - o, q = b - o; if((p ^ q) == 0) return p.x < q.x; return (p ^ q) > 0; }